R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art
Multiplizieren wir (3.57) mit ∂xi/∂qk und summieren über i so folgt wegen (3.78)
3N�
i=1
∂xi
mi ¨xi
∂qk
=
3N�
i=1
∂xi
Ki
∂qk
+
p�
3N�
λm
m=1 i=1
∂Gm ∂xi
=
∂xi ∂qk
3N�
i=1
∂xi
Ki
∂qk
(3.79)
die Elimination der Zwangskräfte. Gleichung (3.79) entspricht in diesem Fall dem Prinzip
von d’Alembert (3.75).
Im allgemeinen Fall der Dynamik von N Teilchen im dreidimensionalen Ortsraum bei Vorliegen
von k Zwangsbedingungen Gm = 0 (m = 1, . . . , k) ergibt sich die Zahl der Freiheitsgrade
(d.h. die Anzahl der nötigen verallgemeinerten Koordinaten) zu s = 3N − k. Wir suchen
also die Transformation der abhängigen Koordinaten, d.h. der Vektoren �ri, i = 1, . . . , N, auf
verallgemeinerte Koordinaten qj(j = 1, . . . , s):
Gemäß der Kettenregel folgt dann für die Geschwindigkeiten
und die virtuellen Verrückungen
�ri = �ri (q1, . . . , qs, t) . (3.80)
�vi = ˙ �ri =
δ�ri =
s� ∂�ri
qj ˙ +
∂qj
∂�ri
∂t
j=1
(3.81)
s� ∂�ri
δqj . (3.82)
∂qj
j=1
In Gleichung (3.82) taucht keine partielle Ableitung nach der Zeit t auf, weil nach Definition
die virtuellen Verrückungen δ�ri instantan in der Zeit sind. Virtuelle Verrückungen beziehen
sich nur auf Auslenkungen der Koordinaten.
Aus Gleichung (3.81) folgt sofort
∂�vi
∂ ˙
qk
= ∂�ri
∂qk
3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art
Wir gehen jetzt aus vom Prinzip von d’Alembert (3.75),
. (3.83)
N� �
�Ki − ˙ �
�pi · δ�ri = 0 , (3.84)
i=1
und betrachten die einzelnen Terme in dieser Gleichung.
Mit der Hilfsformel (3.82) folgt für den ersten Term
I1 =
N�
�Ki · δ�ri =
i=1
N�
s�
i=1 j=1
�Ki · ∂�ri
δqj =
∂qj
s�
Qjδqj , (3.85)
j=1
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