R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art
Einsetzen der Gleichungen (3.85) und (3.89) in Gleichung (3.84) führt auf
N� �
�Ki − ˙ �
�pi · δ�ri =
i=1
s�
�
Qj − d
�
∂T
dt ∂ ˙qj
j=1
�
+ ∂T
�
δqj . (3.90)
∂qj
Wenn nun, wie angenommen, die Zwangsbedingungen holonom sind, dann sind die verallgemeinerten
Koordinaten qj unabhängig voneinander, ebenso wie die δqj, so dass jeder einzelne
Koeffizient in Gleichung (3.90) verschwinden muss. Es ergeben sich dann die s Gleichungen
� �
d ∂T
−
dt ∂ ˙qj
∂T
∂qj
= Qj , j = 1, . . . , s . (3.91)
Die Gleichungen (3.91) werden als Lagrange-Gleichungen 2. Art in allgemeiner Form
bezeichnet.
Ein wichtiger Spezialfall sind konservative Kräfte (siehe Kap. 2.3.4), für die das äußere
Kraftfeld als Gradient eines geschwindigkeitsunabhängigen Potentials V (x, y, z) dargestellt
werden kann,
�Ki = − � ∇iV (x, y, z) . (3.92)
In diesem Fall folgt für die verallgemeinerte Kraft (3.86) mit der Kettenregel
Qj ≡
N�
�Ki ·
i=1
∂�ri
N� ∂�ri
= − ·
∂qj ∂qj i=1
� ∇iV
N�
�
∂V
= − �ex +
∂xi
i=1
∂V
�ey +
∂yi
∂V
� �
∂xi
�ez · �ex +
∂zi ∂qj
∂yi
�ey +
∂qj
∂zi
�
�ez
∂qj
N�
�
∂V ∂xi
= −
+
∂xi ∂qj
∂V ∂yi
+
∂yi ∂qj
∂V
�
∂zi
= −
∂zi ∂qj
∂V
, (3.93)
∂qj
i=1
weil die qj die verallgemeinerten Koordinatenkomponenten bezeichnen (kein Faktor 3).
Für das geschwindigkeitsunabhängige Potential (3.92) gilt weiterhin
oder
∂V
∂ ˙qj
� �
d ∂V
dt ∂ ˙qj
= 0 ,
Wir erhalten dann für die allgemeinen Lagrange-Gleichungen (3.91)
� �
d ∂T
−
dt ∂ ˙qj
∂T
∂qj
und mit der Lagrange-Funktion
�
∂V
= −
∂qj
= 0 . (3.94)
� �
∂V
− 0 = −
∂qj
− d
� ��
∂V
dt ∂ ˙qj
L ≡ T − V , (3.95)
87