R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.4.1 Wieder Beispiel 1: Schiefe Ebene mit Lagrange I
3.4 Lagrange-Gleichungen 1. Art
Rückblickend auf Abschnitt 3.1.1 notieren wir, dass die äußere Kraft durch � K = (0, 0, −mg)
gegeben ist.
Die Zwangsbedingung lautet nach Gleichung (3.37)
G(x, y, z) = z − x tan α = 0 , (3.42)
so dass � ∇G = (− tan α, 0, 1) . (3.43)
Für die Bewegungsgleichung (3.41) bekommen wir in diesem Fall dann
⎛ ⎞
¨x
⎛
0
⎞ ⎛ ⎞
− tan α
m ⎝¨y
⎠ = ⎝ 0 ⎠ + λ ⎝ 0 ⎠ . (3.44)
¨z −mg
1
Mit (3.42) und (3.44) haben wir vier Gleichungen für vier Unbekannte.
Gleichung (3.44) m¨y = 0 ist trivial und ergibt sofort
y(t) = b1t + b2 , (3.45)
mit den Integrationskonstanten b1 und b2.
Zweimaliges Differenzieren nach der Zeit von Gleichung (3.42) führt auf
¨z = ¨x tan α .
Setzen wir den Ausdruck in Gleichung (3.44) für ¨z ein, so folgt
m(tan α)¨x = λ − mg ,
oder m¨x =
λ − mg
.
tan α
(3.46)
Gleichung (3.46) setzen wir gleich zu Gleichung (3.44) und erhalten
oder aufgelöst nach λ:
λ =
m¨x = −λ tan α =
λ − mg
tan α ,
mg
1 + tan2 α = mg cos2 α
sin2 α + cos2 α = mg cos2 α . (3.47)
Damit ergibt sich mit Gleichung (3.43) für die Zwangskraft
�Z = λ� ∇G = mg cos 2 ⎛ ⎞ ⎛
− tan α − sin α cos α
α ⎝ 0 ⎠ = mg ⎝ 0
1
cos2 ⎞
⎠ , (3.48)
α
mit dem Betrag � �
��
Z�
�
�
� = mg
cos 4 α + sin 2 α cos 2 α = mg cos α .
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