R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
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1 Vektorrechnung<br />
benutzen wir die Darstellungen (1.131). Wir erhalten <strong>für</strong><br />
�∇ × (A1�eq1 ) = � �<br />
∇ × A1h1 � �<br />
∇q1 = � ∇ (A1h1) × � ∇q1 + A1h1 � ∇ × � ∇q1 ,<br />
wobei wir die Produktregel (1.110) nutzen. Der zweite Term in dieser Gleichung verschwindet<br />
gemäß Gleichung (1.116) <strong>und</strong> mit Gleichung (1.131) folgt<br />
�∇ × (A1�eq1 ) = � ∇ (A1h1) × �eq1<br />
h1<br />
Jetzt benutzen wir die Darstellung (1.130) <strong>für</strong> grad (A1h1) <strong>und</strong> erhalten<br />
�∇ × (A1�eq1 ) =<br />
�<br />
�<br />
1 ∂ (A1h1) 1 ∂ (A1h1) 1 ∂ (A1h1)<br />
�eq1<br />
+ �eq2<br />
+ �eq3<br />
×<br />
h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3<br />
�eq1<br />
h1<br />
= �eq2 ∂ (A1h1)<br />
−<br />
h1h3 ∂q3<br />
�eq3 ∂ (A1h1)<br />
.<br />
h1h2 ∂q2<br />
(1.136)<br />
Ebenso verfahren wir mit � ∇ × (A2�eq2 ) <strong>und</strong> � ∇ × (A3�eq3 ) <strong>und</strong> erhalten<br />
rot � A = �eq1<br />
�<br />
∂<br />
(A3h3) −<br />
h2h3 ∂q2<br />
∂<br />
�<br />
(A2h2) +<br />
∂q3<br />
�eq2<br />
�<br />
∂<br />
(A1h1) −<br />
h1h3 ∂q3<br />
∂<br />
�<br />
(A3h3)<br />
∂q1<br />
+ �eq3<br />
�<br />
∂<br />
(A2h2) −<br />
h1h2 ∂q1<br />
∂<br />
=<br />
�<br />
(A1h1)<br />
∂q2<br />
�<br />
�<br />
�h1�eq1<br />
h2�eq2 h3�eq3 �<br />
1 �<br />
�<br />
� ∂ ∂ ∂ �<br />
h1h2h3<br />
� ∂q1 ∂q2 ∂q3 � . (1.137)<br />
�<br />
�<br />
1.11.5 Laplace-Operator<br />
A1h1 A2h2 A3h3<br />
Mit Gleichung (1.115) <strong>und</strong> <strong>der</strong> Gradientendarstellung (1.130) gilt <strong>für</strong> den Laplace-Operator<br />
∆ψ = � � �<br />
∇ · �∇ψ = � �<br />
�eq1 ∂ψ<br />
∇ · +<br />
h1 ∂q1<br />
�eq2 ∂ψ<br />
+<br />
h2 ∂q2<br />
�eq3<br />
�<br />
∂ψ<br />
h3 ∂q3<br />
Die Anwendung <strong>der</strong> Divergenzdarstellung (1.135) <strong>für</strong><br />
ergibt dann<br />
∆ψ =<br />
1<br />
h1h2h3<br />
� ∂<br />
∂q1<br />
� h2h3<br />
h1<br />
∂ψ<br />
∂q1<br />
Aν = 1<br />
hν<br />
∂ψ<br />
∂qν<br />
�<br />
+ ∂<br />
� �<br />
h1h3 ∂ψ<br />
+<br />
∂q2 h2 ∂q2<br />
∂<br />
� ��<br />
h1h2 ∂ψ<br />
∂q3 h3 ∂q3<br />
.<br />
. (1.138)<br />
. (1.139)<br />
Nach diesen allgemeinen Herleitungen betrachten wir nun als Beispiel Kugelkoordinaten.<br />
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