R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

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7 Spezielle Relativitätstheorie 7.1.3 Verhalten der skalaren Wellengleichung bei Lorentz-Transformation Wir untersuchen jetzt das Verhalten der skalaren Wellengleichung bei der Lorentz-Transformation (7.17) und (7.4). In diesem Fall erhalten wir für die partiellen Ableitungen Damit folgt und ∂ ∂x ∂ ∂t ∂ ∂y ∂2 ∂y = ∂x′ ∂ ∂x ∂x ′ + ∂t′ ∂ ∂x ∂t ′ = γ ∂ ∂x ′ − = ∂x′ ∂ ∂t ∂x ′ + ∂t′ ∂t = ∂ ∂y ′ , ∂ ∂ = ∂z ∂z ′ . 2 = ∂2 ∂2 = ∂x2 ∂2 = ∂t2 ∂y ′ 2 , ∂2 ∂z � γ ∂ ∂x ′ V γ − c2 Mit den beiden letzten Ergebnissen folgt V γ c 2 ∂ ∂t ′ , ∂ ∂t ′ = −V γ ∂ ∂x ′ + γ ∂ ∂t ′ , ∂z ′ 2 , 2 = ∂2 ∂ ∂t ′ � � γ ∂ ∂x ′ − V γ c 2 ∂ ∂t ′ � 2 ∂2 = γ ∂x ′ 2 + V 2γ2 c4 ∂2 ∂t ′ γ2 − 2V 2 c2 ∂2 ∂x ′ ∂t ′ � γ ∂ ∂t ′ − V γ ∂ ∂x ′ � � γ ∂ ∂t ′ − V γ ∂ ∂x ′ � 2 ∂2 = γ ∂t ′ 2 + V 2 2 ∂2 γ ∂x ′ 2 − 2γ2V ∂2 1 − ∂x2 c2 ∂2 ∂t2 = ∂2 γ2 ∂x ′ 2 + V 2γ2 c4 − γ2 c2 ∂2 ∂t ′ 2 − V 2γ2 c2 = γ 2 � 1 − V 2 c 2 = ∂2 ∂x ′ 1 − 2 c2 ∂2 ∂t ′ 2 . ∂ 2 ∂x ′ ∂t ′ . ∂2 ∂t ′ γ2 − 2V 2 c2 ∂2 ∂x ′ ∂t ′ ∂2 ∂x ′ 2 + 2γ2V c2 ∂2 � ∂2 ∂x ′ 2 + � � V 2 γ2 − 1 c2 c2 ∂x ′ ∂t ′ ∂ 2 ∂t ′ 2 Damit ist die Forminvarianz der skalaren Wellengleichung bei Lorentz-Transformation bewiesen. 7.1.4 Additionstheorem der Geschwindigkeiten Wir betrachten jetzt zwei aufeinander folgende Lorentz-Transformationen vom System K mit der Geschwindigkeit β1 = V1/c in das System K ′ , und anschließend vom System K ′ mit der Geschwindigkeit β2 = V2/c in das System K ′′ . Wir berechnen den Wert der Geschwindigkeit β3 = V3/c, mit der sich das System K ′′ relativ zum System K bewegt. 242
Zum einen gilt nach dem Transformationsgesetz (7.20) � ′′ x ct ′′ wobei � γ3 = = � � � � 1 −β3 x γ3 −β3 1 ct � 1 − β 2�−1/2 3 . Zum anderen ist �x ′′ � ct ′′ wobei γ1,2 = � 1 − β 2 �−1/2 1,2 . � � � 1 −β2 x ′ = γ2 −β2 1 ct ′ � � � � � � � 1 −β2 1 −β1 x = γ2 γ1 −β2 1 −β1 1 ct − β1+β2 1+β1β2 7.1 Die Lorentz-Transformation , (7.28) , (7.29) Gleichung (7.29) ergibt � ′′ x ct ′′ � = = = = � � � � 1 −β2 x − β1ct γ2γ1 −β2 1 −β1x + ct � � x − β1ct − β2 (−β1x + ct) γ2γ1 −β2 (x − β1ct) − β1x + ct � � (1 + β1β2) x − (β1 + β2) ct γ2γ1 − (β1 + β2) x + (1 + β1β2) ct � β1+β2 x − 1+β1β2 γ1γ2 (1 + β1β2) ct − β1+β2 = � x + ct 1+β1β2 � � β1+β2 �x � 1 − 1+β1β2 γ1γ2 (1 + β1β2) , 1 ct (7.30) Aus der Gleichheit der Ausdrücke (7.28) und (7.30) folgt das Additionstheorem der Geschwindigkeiten β3 = β1 + β2 1 + β1β2 oder V3 = V1 + V2 1 + V1V2 c2 Das Additionstheorem (7.31) impliziert γ3 = � 1 − β 2�−1/2 3 = = = = , (7.31) , (7.32) 1 + β1β2 � (1 + β1β2) 2 − (β1 + β2) 2 1 + β1β2 � 1 + 2β1β2 + β 2 1 β2 2 − β2 1 − 2β1β2 − β 2 2 1 + β1β2 � 1 + β2 1β 2 2 − β2 1 − β2 2 1 + β1β2 � (1 − β2 1 )(1 − β2 2 ) = γ1γ2 (1 + β1β2) . 243
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Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
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Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 0
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Inhaltsverzeichnis 3.2.1 Mathematis
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Inhaltsverzeichnis 5.2.3 Poisson-Th
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Inhaltsverzeichnis vii
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0 Einleitung 0.1 Vorbemerkung Diese
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1 Vektorrechnung 1.1 Grunddefinitio
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a b a + b b 1.2 Vektoroperationen A
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a b φ a b 1.2 Vektoroperationen Ab
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1.3 Komponentendarstellung von Vekt
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1.3 Komponentendarstellung von Vekt
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(A1.4.1) Beweisen Sie die Identitä
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1.6 Anwendungen der Vektorrechnung
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1.7 Differentiation und Integration
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1.7.2 Integration von Vektoren 1.8
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x z φ z r Abbildung 1.12: Zur Einf
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(ρ cos φ, ρ sin φ, z). Mit Glei
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is zur ersten Ordnung ergibt: dψ =
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1. auf eine skalare Funktion T (�
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1.9.4 Rotation 1.9 Vektorielle Diff
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jeweils zwei für Gradienten, Diver
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Einheitsvektoren mit dem Skalenfakt
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1.11 Differentialoperatoren in krum
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1.11.6 Beispiel: Kugelkoordinaten M
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2 Newtonsche Mechanik Die klassisch
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2.1 Das Physikalische Weltbild vor
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2.1 Das Physikalische Weltbild vor
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2.2 Die Newtonschen Axiome einen Or
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2.2 Die Newtonschen Axiome Newton p
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2.2 Die Newtonschen Axiome allein i
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2.3.2 Arbeit 2.3 Grundbegriffe der
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Für die elastische Kraft 2.3 Grund
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2.4 Integration der Bewegungsgleich
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2.4.3 Konservatives Kraftfeld F = f
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2.5 Reibung Die Wurfdauer ergibt si
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und durch direkte Integration � t
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3 Analytische Mechanik 3.1 Eingesch
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m Z l y φ K= mge 2 Abbildung 3.2:
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3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwe
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3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwe
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3.3 Beschreibung von Flächen und K
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3.4.1 Wieder Beispiel 1: Schiefe Eb
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3.4.2 Allgemeiner Fall 3.4 Lagrange
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3.5 Energieerhaltungssatz im Fall v
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3.6 Das Prinzip von d’Alembert (b
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3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art Mul
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3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art Ein
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3.8.2 Atwoodsche Fallmaschine 3.8 E
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so sind die Koeffizienten (3.101) u
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l + l 1 2 folgt für die kinetische
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3.9 Weitere Anwendungen dessen Lös
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3.10.1 Beispiele x 1 y (x) 3.10 Exk
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α = 0 liefert den Extremalwert J(
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3.10 Exkurs über Variationsprinzip
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Setzen wir dies in Gleichung (3.148
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3.11 Hamiltonsches Prinzip Weil die
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Durch Aufsummieren folgt sowohl als
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x R Θ l φ 3.11 Hamiltonsches Prin
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3.12 Symmetrien und Erhaltungssätz
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y r y’ K K’ V r’ 3.12 Symmetr
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3.12.5 Noether-Theorem für autonom
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3.13 Geschwindigkeitsabhängige Kr
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Weil � A(�r, t) nicht von der G
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Es ist �vi · ∂�vi ∂ ˙ qj
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so dass wir den Virial-Satz erhalte
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4 Das Zweikörper-Problem Wir betra
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4.2 Relativbewegung schreiben könn
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wir mit Gleichung (4.19) für die
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Durch Integration erhalten wir r mi
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4.3 Kepler-Problem: Planetenbewegun
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4.4 Mathematische Zwischenbetrachtu
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4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
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a b ψ c = aε 4.5 Fortsetzung des
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4.6 Hyperbelbahnen f(φ) kann das V
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Aphel rmax rmin m1 Perihel Abbildun
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4.8 Das Streuproblem des Targetteil
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Benutzen wir Θ = π − 2φG , so
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5 Hamilton-Mechanik Mit der Hamilto
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5.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichung
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p Amω A A 5.1 Hamiltonsche Bewegun
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π 2 p φ 5.1 Hamiltonsche Bewegung
Seite 183 und 184:
Definition : Wir definieren die Poi
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Gleichung, so folgt d [f, g] = dt =
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Aus den Gleichungen (5.52) und (5.5
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5.3 Kanonische Transformationen wei
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5.3 Kanonische Transformationen ver
Seite 193 und 194:
5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung 5.4 H
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5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung Das s
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5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung (e) M
Seite 199 und 200:
5.6 Separation der Variablen Die Ko
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5.6 Separation der Variablen Die HJ
Seite 203 und 204: 5.6.2 Beispiel: Teilchen im Schwere
Seite 205 und 206: 5.7 Satz von Liouville Bezeichnen w
Seite 207 und 208: Satz von Poincare: Das Integral �
Seite 209 und 210: 5.8 Integralinvarianten von Poincar
Seite 211 und 212: 6 Bewegung des starren Körpers 6.1
Seite 213 und 214: x’ x z z’ y’ y 6.1 Kinematik
Seite 215 und 216: wobei ɛik infinitesimal klein sein
Seite 217 und 218: e 1 dφ d Ω e 3 x’ x Θ Θ Abbi
Seite 219 und 220: ω r K θ F Zentr. Abbildung 6.5: Z
Seite 221 und 222: 6.4 Trägheitstensor und Hauptachse
Seite 223 und 224: 6.4 Trägheitstensor und Hauptachse
Seite 225 und 226: O 6.4 Trägheitstensor und Hauptach
Seite 227 und 228: Mit �rα = � R + �r ′ α od
Seite 229 und 230: 6.4.5 Hauptachsentransformation 6.4
Seite 231 und 232: 6.5 Das Trägheitsellipsoid Setzen
Seite 233 und 234: 6.6 Die Eulerschen Gleichungen mit
Seite 235 und 236: ω (ω ,ω ,0) 1 2 e 1 e 3 6.6 Die
Seite 237 und 238: 6.7 Die Eulerschen Winkel 6.7 Die E
Seite 239 und 240: χ’ θ χ η’ ξ = ξ’ Abbild
Seite 241 und 242: 6.8 Lagrange-Mechanik des starren K
Seite 243 und 244: Für den symmetrischen Kreisel ist
Seite 245 und 246: 6.8 Lagrange-Mechanik des starren K
Seite 247 und 248: Aus der Lagrange-Funktion (6.119) f
Seite 249 und 250: 7 Spezielle Relativitätstheorie Ei
Seite 251 und 252: 7.1 Die Lorentz-Transformation Die
Seite 253: folgen mit den Gleichungen (7.23)
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Seite 259 und 260: 7.3 Lagrange-Formulierung der relat
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Seite 263 und 264: 8 Kosmologie fast ohne Allgemeine R
Seite 265 und 266: 8.3 Dichte und Druck des Universums
Seite 267 und 268: 8.3.4 Quintessenz 8.4 Vakuumdruck N
Seite 269 und 270: 8.5.3 Vakuum Für das Vakuum erhalt
Seite 271 und 272: 8.7 Zukünftige Beschleunigung des
Seite 273 und 274: 8.8 Rotverschiebung, Lichtlaufzeit
Seite 275 und 276: Für Ωm0 < 1 gilt τ (r, Ωm0 <
Seite 277 und 278: A Anhang A.1 Mathematischer Anhang
Seite 279: A.2 Empfohlene Literatur A.2.1 Büc
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