R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
Der Ausdruck � B · ( � ∇ � C) ist nicht definiert.
Neben der skalaren Verknüpfung (1.90) können wir auch das Kreuzprodukt bilden:
� �
�B × ∇�
i =
3�
j,k=1
ɛijkBj
∂
∂xk
Die Anwendung dieses Operators auf ein Skalarfeld Φ ergibt
�� � �
�B × ∇�
Φ
i =
� � ��
�B × �∇Φ
i =
Die Zweifachanwendung des Gradienten-Operators
�∇ · � ∇ =
3�
� �
∂ ∂
=
∂xi ∂xi
i=1
3�
3�
j,k=1
∂ 2
∂x
i=1
2 i
. (1.93)
ɛijkBj
∂Φ
∂xk
. (1.94)
≡ ∇ 2 ≡ ∆ (1.95)
ergibt den skalaren sogenannten Laplace-Operator ∆, der sowohl auf Skalare als auch auf
Vektoren angewandt werden kann:
∆Φ = ∇ 2 Φ =
∆ � B = ∇ 2 � B =
1.9.2 Der Nabla-Operator � ∇
Der Vektor-Operator (1.86)
3� ∂2Φ i=1
� 3�
i=1
∂x 2 i
∂2B1 ∂x2 ,
i
3�
i=1
∂2B2 ∂x2 ,
i
�∇
∂ ∂ ∂
= �e1 + �e2 + �e3
∂x ∂y ∂z
3�
i=1
∂ 2 B3
∂x 2 i
�
(1.96)
. (1.97)
erhält Bedeutung, wenn er auf irgendetwas wirken kann. � ∇T ist kein Produkt, sondern eine
Vorschrift zur Ableitung des Skalars T (�r), d.h. � ∇ ist ein Vektor-Operator, der auf T
wirkt. � ∇ verhält sich dann wie ein normaler Vektor, wenn wir “Produkt” mit “wirkt auf”
ersetzen.
Nach Kap. 1.2 existieren drei Möglichkeiten der Multiplikation eines Vektors �a:
1. Produkt mit einem Skalar p: p�a,
2. Skalarprodukt mit einem anderen Vektor � b: �a · � b,
3. Kreuzprodukt mit einem anderen Vektor � b: �a × � b.
Entsprechend kann der Nabla-Operator auf drei Weisen wirken:
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