R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.8.2 Atwoodsche Fallmaschine
3.8 Einfache Anwendungen
Als Beispiel eines konservativen physikalischen Systems mit skleronomen Zwangsbedingungen
betrachten wir eine masselose Rolle mit dem Radius R, über die zwei Massen miteinander
durch ein masseloses Seil der Länge l + πR verbunden sind (siehe Abb. 3.5). Auf die Massen
m1 und m2 wirkt das Schwerefeld.
x
m 1
x 1
m g
1
R
x 2
m 2
m g
2
Abbildung 3.5: Atwoodsche Fallmaschine
Die Zwangsbedingung lautet x1 + x2 = l. Als verallgemeinerte Koordinate wählen wir den
Ort der ersten Masse q = x1. Aufgrund der Zwangsbedingung gilt x2 = l − q.
Für die kinetische Energie erhalten wir dann
während die potentielle Energie durch
T = m1
2 ˙x2 1 + m2
2 ˙x2 2 = m1
2 ˙q2 + m2
2 ˙q2 ,
V = −m1gx1 − m2gx2 = −m1gq − m2g(l − q)
gegeben ist. Damit erhalten wir für die Lagrange-Funktion (3.95)
L = T − V = 1
2 (m1 + m2) ˙q 2 + g [m1q + m2(l − q)] . (3.97)
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