R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Mit (∂L/∂t) = 0 folgt unter Verwendung der Lagrange-Gleichung
d
L
dt
=
s�
�
∂L
qj ˙ +
∂qj
j=1
∂L
=
�
¨qj
∂qj ˙
s�
� � �
d ∂L
qj ˙ +
dt ∂qj ˙
j=1
∂L
� s�
� �
d ∂L
¨qj =
qj ˙
∂qj ˙
dt ∂qj ˙
j=1
oder 0 = d
⎡
⎤
s�
⎣
∂L
qj ˙ − L⎦
,
dt ∂ ˙
(3.201)
d.h. die Größe
j=1
qj
H ≡
s�
j=1
∂L
∂ ˙
qj
qj ˙ − L (3.202)
ist Erhaltungsgröße.
Mit der Definition 1 der kanonisch konjugierten Impulse (3.195) können wir diese Erhaltungsgröße
auch in der Form
H =
s�
j=1
pjqj ˙ − L (3.203)
schreiben. H wird als Hamilton-Funktion oder Hamiltonian des Systems bezeichnet.
Wegen (∂V/∂ ˙qj) = 0 ist
∂L
qj ˙ =
∂ ˙
∂T
qj ˙ . (3.204)
∂ ˙
qj
Wegen (∂�rj/∂t) = 0 ist die kinetische Energie T eine homogene Funktion 2. Grades in den
verallgemeinerten Geschwindigkeiten qj ˙ (Beweis siehe Abschnitt 3.8.3, (3.103)):
� � s� s�
T ˙�q = ajkqj ˙ qk ˙ , (3.205)
so dass gilt T
�
λ ˙ �
�q
qj
j=1 k=1
= λ 2 � �
T ˙�q
und es folgt aus dem Euler-Theorem (3.200):
s� ∂T
qj ˙ = 2T . (3.206)
∂ ˙
j=1
Damit erhalten wir für die Erhaltungsgröße (3.202):
⎡
⎤
H =
s�
⎣
∂L
qj ˙ − L⎦
∂qj ˙
j=1
⎡
⎤
=
s�
⎣
∂T
qj ˙ − L⎦
∂ ˙
114
j=1
qj
qj
= 2T − L = 2T − (T − V ) = T + V = E . (3.207)