R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

8 Kosmologie fast ohne Allgemeine Relativitätstheorie
mit der Lösung für die Lichtlaufzeit vom Ort r zu uns
t(r) = H −1
0
τ(r) = H−1
0
� 1
Für r = 0 ergibt sich das Alter des Universums zu
t(0) = H −1
� 1
0
0
r
dx
�
1 − Ω0 + Ωγ0
x2 + Ωm0
x + Ωv0x2 dx
�
1 − Ω0 + Ωγ0
x2 + Ωm0
x + Ωv0x2 8.8.1 Strahlungsdominiertes Universum (Ωv0 = Ωm0 = 0)
� 1/2 . (8.69)
� 1/2 . (8.70)
Besteht die Energiedichte des Universums nur aus Strahlung (Ωv0 = Ωm0 = 0), so folgt für
die Lichtlaufzeit (8.69)
τ(r) =
� 1
r
dx
x
� =
Ωγ0 + (1 − Ωγ0) x2 und für das Alter des Universums (8.70)
τ(0) = 1 − � Ωγ0
1 − Ωγ0
1
1 − Ωγ0
=
� �
1 − Ωγ0 + (1 − Ωγ0) r2 �
1
1 + Ω 1/2
γ0
8.8.2 Materiedominiertes Universum (Ωv0 = Ωγ0 = 0)
(8.71)
. (8.72)
Besteht die Energiedichte des Universums nur aus Materie (Ωv0 = Ωγ0 = 0), so folgt für die
Lichtlaufzeit (8.69)
Für Ωm0 = 1 erhalten wir
so dass das Alter durch
τ (r, Ωm0) =
� 1
r
dx
x
� .
Ωm0x + (1 − Ωm0) x2 τ (r, Ωm0 = 1) = 2
�
1 − r
3
3/2�
τ (0, Ωm0 = 1) = 2
3
, (8.73)
gegeben ist. Für nahe Objekte r = 1/(1 + z) mit z ≪ 1 folgt aus Gleichung (8.73)
262
(8.74)
τ � (1 + z) −1 , Ωm0 = 1 , z ≪ 1 � � z − 5
4 z2 . (8.75)