R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Weil � A(�r, t) nicht von der Geschwindigkeit �v abhängt, gilt
so dass
Ax = ∂
(Axvx) =
∂vx
∂
� �
�A · �v ,
∂vx
�
Fx ∂
= − Φ −
e ∂x
1
c �v · � �
A − 1
�
d ∂
c dt ∂vx
3.13 Geschwindigkeitsabhängige Kräfte
� �
�A · �v
�
. (3.234)
Da das skalare Potential Φ(�r, t) ebenfalls nicht von der Geschwindigkeit �v abhängt, dürfen
wir schreiben
Fx = − ∂U d ∂U
+
∂x dt ∂vx
, (3.235)
mit dem generalisierten Potential
U ≡ eΦ − e
c � A · �v . (3.236)
Entsprechendes gilt für die y- und z-Komponente der Lorentzkraft, d.h.
Fy = − ∂U d ∂U
+ , Fz = −
∂y dt ∂vy
∂U d ∂U
+ ,
∂z dt ∂vz
so dass allgemein F � = −∇�rU � + d
� �
�∇�vU . (3.237)
dt
Die Gleichungen (3.235) und (3.237) erfüllen genau die in Gleichung (3.228) gestellten Anforderungen
an das verallgemeinerte Potential V ∗ .
Für die Lagrange-Funktion (3.229) folgt mit V ∗ = U:
Für den zu qk kanonisch konjugierten Impuls erhalten wir dann
L = T − eΦ + e
c � A · �v . (3.238)
ˆpk = ∂L
∂ ˙qk
= ∂T
+
∂ ˙qk
e
c � A · ∂�v
∂ ˙qk
. (3.239)
Liegen keine Zwangsbedingungen vor, so sind die verallgemeinerten Koordinaten qk gleich
den natürlichen Koordinaten xk. Es gilt dann für den zu xk kanonisch konjugierten Impuls
ˆpk = ∂T
+
∂ ˙xk
e
c � A · ∂�v
∂ ˙xk
= pk + e
c Ak , (3.240)
wobei pk der lineare Impuls ist. Also ist der kanonisch konjugierte Gesamtimpuls des Teilchens
ˆ�p = �p + e
c � A , (3.241)
d.h. ein Teilchen im Magnetfeld ändert seinen Impuls um e/c � A. Dies ist ein Beispiel dafür,
dass der kanonisch konjugierte Impuls bei geschwindigkeitsabhängigem Potential nicht mit
dem mechanischen Linearimpuls übereinstimmt.
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