R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
Nehmen wir an, wir hätten die Lösung für W bereits gefunden. Dann muss Gleichung (5.123)
zur Identität werden, d.h. insbesondere für alle q1 erfüllt sein. Eine Änderung von q1 darf
sich bezüglich H nicht bemerkbar machen. Da q1 aber nur in die Funktion f eingeht, muss
f selbst konstant sein, d.h.
so dass H
f
�
q2, . . . , qs, ∂ ¯ W
∂q2
�
q1, dW1
�
= C1 = const , (5.124)
dq1
, . . . , ∂ ¯ W
, C1
∂qs
�
= E . (5.125)
Da die neuen Impuse Pj nach Konstruktion sämtlich konstant sind, ist W1 nur von q1
abhängig und wir durften in (5.124) die partielle Ableitung ∂W1/∂q1 = dW1/dq1 durch die
totale Ableitung ersetzen. Gleichung (5.124) ist damit eine gewöhnliche Differentialgleichung
für W1; Gleichung (5.125) nach wie vor eine partielle Differentialgleichung für ¯ W , aber mit
einer um eins kleineren Zahl unabhängiger Variablen.
In manchen Fällen lassen sich so sukzessive alle Koordinaten abtrennen und die vollständige
Lösung der HJD in Verallgemeinerung von Gleichung (5.122) ansetzen als
W =
s�
Wj (qj |α1, . . . , αs) . (5.126)
j=1
Dadurch wird die HJD in s gewöhnliche Differentialgleichungen der Form
Hj
�
qj, dWj
�
, α1, . . . , αs
dqj
= αj
(5.127)
zerlegt, d.h. die HJD ist in den Koordinaten qj separabel.
Für den Spezialfall, dass nur eine Koordinate nicht zyklisch ist, ist eine Separation immer
möglich: sei q1 nicht-zyklisch, qj für j > 1 zyklisch. Dann folgt nach (5.118)
pj = ∂W
∂qj
= αj = const , j > 1 . (5.128)
Welcher Ansatz für W ist hier sinnvoll? Nach Konstruktion erzeugt W eine Transformation
auf ausnahmslos zyklische neue Koordinaten. q2, . . . , qs sind aber bereits zyklisch. Für diese
sollte W die identische Transformation (5.71)
F2
�
�q, � �
P =
s�
j=2
sein. Mit Pj = αj bietet sich als Ansatz für W an:
188
W = W1 (q1) +
qjPj ,
s�
qjPj . (5.129)
j=2