R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
(b) Ein Gradientenfeld ist wirbelfrei:
rot grad Φ = � � �
∇ × �∇Φ
∂ ∂Φ
= �eiɛijk
∂xj ∂xk
�
� ⎛
�
� �e1 �e2 �e3
� ∂
�
� ∂ ∂ ∂ � ⎜
= � ∂x ∂y ∂z � = ⎝
� ∂Φ ∂Φ ∂Φ �
�
�
∂x ∂y ∂z
2Φ ∂y∂z − ∂2Φ ∂y∂z
∂2Φ ∂x∂z − ∂2Φ ∂x∂z
∂2Φ ∂x∂y − ∂2 ⎞
⎟
⎠ = 0 . (1.116)
Φ
∂x∂y
(c) Ein Rotationsfeld besitzt keine Quellen und Senken, denn unter Ausnutzung von Gleichung
(1.23) gilt
div rot �g = � �
�
� ∂ ∂ ∂ �
� � � ∂x ∂y ∂z �
∇ · �∇ �
× �g = ∂ ∂ ∂ �
�
� ∂x ∂y ∂z �
�
�gx
gy gz �
= ∂
� �
∂gz ∂gy
− −
∂x ∂y ∂z
∂
� �
∂gz ∂gx
−
∂y ∂x ∂x
+ ∂
� �
∂gy ∂gx
− = 0 . (1.117)
∂z ∂x ∂y
(d) Unter Ausnutzung des dreifachen Kreuzprodukts (1.22) gilt
rot ( rot �g) = � � �
∇ × �∇ × �g = grad ( div �g) − ∆�g (1.118)
(e) div
� �
�B × C�
= � �
C · rot � �
B − � �
B · rot � �
C . (1.119)
Beweis : Es ist
� �
�∇ · �B × C�
Q.E.D.
= ∂
∂x (ByCz − BzCy) + ∂
∂y (BzCx − BxCz) + ∂
∂z (BxCy − ByCx)
� � � � � �
∂Bz ∂By ∂Bx ∂Bz ∂By ∂Bx
= Cx − + Cy − + Cz −
∂y ∂z
∂z ∂x ∂x ∂y
� � � � � �
∂Cz ∂Cy ∂Cx ∂Cz ∂Cy ∂Cx
− Bx − − By − − Bz −
∂y ∂z
∂z ∂x ∂x ∂y
= � � �
C · �∇ × B�
− � � �
B · �∇ × C�
.
1.11 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
1.11.1 Grundgleichungen
Neben den kartesischen Koordinaten xi = (x1, x2, x3) = (x, y, z) betrachten wir die allgemeinen
krummlinigen Koordinaten qi = (q1, q2, q3). Nach Kap. (1.8.2) bilden wir die neuen
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