R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

wobei ɛik infinitesimal klein sein soll. Damit folgt für (6.10)
x ′
i =
3�
k=1
(δik + ɛik) xk
6.2 Infinitesimale Drehungen
(6.12)
und somit �x ′
= (I + E) �x ,
⎛ ⎞
1 0 0
(6.13)
wobei I = ⎝0
1 0⎠
. (6.14)
0 0 1
die Matrix der identischen Abbildung ist, und E eine Matrix mit infinitesimalen Einträgen
ist.
Wir zeigen jetzt, dass solche infinitesimalen Drehungen kommutativ sind: mit A = I + E1
und B = I + E2 folgt
BA�x = (I + E2) (I + E1) �x = (I + E2 + E1 + E2E1) �x = �c1
AB�x = (I + E1) (I + E2) �x = (I + E1 + E2 + E1E2) �x = �c2 .
Da es sich um infinitesimale Drehungen handelt, vernachlässigen wir Terme höherer als 1.
Ordnung in E1 und E2, so dass
also sind infinitesimale Drehungen kommutativ.
A −1 = I − E1 ist die zu A = I + E1 inverse Drehung, denn
�c2 = (I + E1 + E2) �x = �c1 , (6.15)
AA −1 = (I + E1) (I − E1) = I + E1 − E1 − E1E1 = I . (6.16)
Für die infinitesimale Drehung um die �e3-Achse erhalten wir aus Gleichung (6.9) für kleine
φ = dφ3