R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.7 Satz von Liouville
Bezeichnen wir mit ∆N die Anzahl der f Massenpunkte, dann gilt für die Teilchendichte
ρ = ∆N
∆V .
Mit Ablauf der Bewegung entsprechend den Hamiltonschen-Bewegungsgleichungen (5.10)–
(5.11) für alle f Teilchen transformiert sich das Gebiet G1 in das Gebiet G2.
Satz von Liouville: Das Volumen irgendeines beliebigen Gebiets des Phasenraums bleibt
erhalten, wenn sich die Punkte seiner Bewegung entsprechend den kanonischen Gleichungen
bewegen.
Oder anders formuliert: Die Dichte der Punkte im Phasenraum ρ in der Umgebung eines
mitbewegten Punktes ist konstant.
Beweis: Wir betrachten die Bewegung von Systempunkten durch ein Volumenelement des
Phasenraums. Die Projektion des 2f-dimensionalen Volumenelements auf die qk − pk-Ebene
ist gleich der Fläche ABCD in Abb. 5.5.
p k
D
A
dp kdq k
Abbildung 5.5: Zum Beweis des Satzes von Liouville
Der Fluss von Punkten durch die Seitenfläche, deren Projektion auf die qk − pk-Ebene gleich
AD ist, ist durch
C
ρ ˙qkdpkdVk ,
gegeben, weil sich in Richtung qk alle Punkte mit der Geschwindigkeit ˙qk bewegen und
dpkdVk die Größe der Seitenfläche ist. Dabei ist
dVk =
f�
α=1,α�=k
B
dqαdpα
das (2f − 2)-dimensionale Restvolumenelement.
Für den Fluss der bei BC austretenden Punkte ergibt die Taylor-Entwicklung
q k
�
ρ ˙qk + ∂
�
(ρ ˙qk) dqk dpkdVk .
∂qk
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