R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4.6 Hyperbelbahnen
f(φ) kann das Vorzeichen wechseln. Weil r(φ) > 0 ∀φ, müssen wir verschiedene Fälle
unterscheiden, je nach Vorzeichen des Parameters
p = l2
, (4.93)
αµ
wobei (zur Erinnerung) µ die reduzierte Masse ist und α der Proportionalitätsfaktor im
Keplerpotential
V (r) = − α
.
r
(4.94)
4.6.1 Attraktives Potential (α > 0)
Der Proportionalitätsfaktor α ist positiv für das Gravitationspotential oder für das elektrostatische
Potential mit entgegengesetzten Ladungen. In diesem Fall ist der Parameter p > 0.
π
1+ε
1
f ( φ )
φ1 φ1
Abbildung 4.12: Variation der Funktion f(φ) im Fall p > 0
Aus der Forderung f(φ) = 1+ɛ cos φ ≥ 0 ergibt sich die in Abb. 4.12 skizzierte Einschränkung
der erlaubten Werte von φ zu
π
φ
−π < −φ1 ≤ φ ≤ φ1 < π , (4.95)
mit dem Grenzwinkel φ1 = arccos(1/ɛ). Für den Winkel φ = 0 wird der Abstand der Bahn
vom Kraftzentrum minimal, rmin = p/(1 + ɛ); für φ → ±φ1 folgt r → ∞. Die resultierende
Bahnkurve ist in Abb. 4.13 skizziert.
4.6.2 Repulsives Potential (α < 0)
Die Massenpunkte stoßen sich ab, wie etwa bei gleich geladenen Ladungsträgern. Dann ist
p < 0, und es muss
f(φ) = 1 + ɛ cos φ < 0
sein. Die erlaubten Werte von φ sind dann
−π ≤ φ < −φ1 und φ1 < φ ≤ π . (4.96)
Die in Abb. 4.14 skizzierten Bahnkurven sind Hyperbeln, die nicht das Kraftzentrum einschließen,
sondern vor diesem zurückweichen.
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