R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
Wir betrachten die Bewegung zweier Massenpunkte unter dem Einfluss einer wechselseitigen
Zentralkraft. Wir bezeichnen mit m1 und m2 die Massen der beiden Massenpunkte mit
den Ortsvektoren �r1 und �r2. Es ist aber ungünstig, mit den sechs kartesischen Komponenten
der beiden Ortsvektoren zu arbeiten. Wir werden stattdessen neue Koordinaten suchen
mit dem Ziel, möglichst viele zyklische Koordinaten zu finden, um die Erhaltungssätze der
korrespondierenden kanonisch konjugierten Impulse auszunutzen.
4.1 Lagrange-Funktion des Zweikörper-Problems
Wir wählen als neue Koordinaten (siehe Abb. 4.1):
(a) den Abstandsvektor
und
�r = �r2 − �r1
(b) den in Kap. 3.12.2 eingeführten Schwerpunktvektor
O
r 1
�R = m1 �r1 + m2�r2
m1 + m2
m 1
R
S
r
r 2
m 2
(4.1)
. (4.2)
Abbildung 4.1: Abstandsvektor �r und Schwerpunktvektor � R beim Zweikörper-Problem
Für die Umkehrtransformationen gelten dann
�r1 = � R − m2
�r (4.3)
m1 + m2
und �r2 = � R + m1
�r . (4.4)
m1 + m2
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