R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

jeweils zwei für Gradienten, Divergenzen und Rotationen:
1.10 Rechenregeln für vektorielle Differentialoperatoren
�∇(fg) = f � ∇g + g � �
�∇ �a ·
∇f (1.106)
� �
b =
� �
�a × �∇ × �b + � � � �
b × �∇ × �a + �a · � � � �
∇ �b + �b · ∇�
�a (1.107)
�∇ · (f�a) =
� � � �
f �∇ · �a + �a · �∇f
(1.108)
�
�∇ · �a × � �
b = � � � � �
b · �∇ × �a − �a · �∇ × �b (1.109)
�∇ × (f�a) =
� � � �
f �∇ × �a − �a × �∇f
(1.110)
�
�∇ × �a × � �
b =
� � �
�b · ∇�
�a − �a · � � � �
∇ �b + �a �∇ · �b −� � �
b �∇ · �a . (1.111)
Diese Regeln lassen sich leicht mit der Komponentendarstellung der Vektoren beweisen.
1.10.3 Quotientenregeln
Mit Hilfe der Produktregeln erhalten wir
� �
�∇
f
=
g
g � ∇f − f � ∇g
g2 (1.112)
� � � �
� �
�∇
�a g �∇ · �a − �a · �∇g
· =
g
g2 (1.113)
� � � �
� �
�∇
�a g �∇ × �a + �a × �∇g
× =
g
g2 . (1.114)
1.10.4 Kombination verschiedener vektorieller Differentialoperatoren
1. � ∇Φ ist ein Vektor. Von diesem Vektor können wir die Divergenz div � ∇Φ und die
Rotation rot � ∇Φ berechnen.
2. � ∇ · � A ist ein Skalar, dessen Gradient wir bilden können.
3. � ∇ × � A ist ein Vektor, dessen Divergenz div ( � ∇ × � A) und Rotation rot ( � ∇ × � A) wir
berechnen können.
Mehr Kombinationsmöglichkeiten gibt es nicht! Aber nicht alle ergeben etwas Neues, wie
wir jetzt zeigen werden.
Für die Kombination verschiedener vektorieller Differentialoperatoren beweisen wir die folgenden
wichtigen Rechenregeln:
(a) Wir wiederholen Gleichung (1.99):
div grad Φ = � � �
∇ · �∇Φ = ∇ 2 Φ = ∆Φ . (1.115)
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