R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6.8 Lagrange-Mechanik des starren Körpers
Es müssen also die Projektionen der Winkelgeschwindigkeiten der einzelnen Drehungen auf
die körperfesten Achsen bestimmt werden. Dabei ist nach Kap. 6.7 ˙ � φ � zur raumfesten
z-Achse, ˙ � θ � zur ξ = ξ ′
-Achse und ˙ � ψ � zur z ′
Mit ˙ φ� � (0, 0, z) = ÂT (0, 0, z ′
) folgt aus Gleichung (6.102)
˙�φ = ˙ ⎛ ⎞
sin ψ sin θ
φ ⎝cos
ψ sin θ⎠
,
cos θ
-Achse, d.h.
⎛
0
˙�ψ � ⎝ 0
z ′
⎞
⎠ . (6.107)
so dass ˙ φx ′ = ˙ φ sin ψ sin θ , ˙ φy ′ = ˙ φ cos ψ sin θ , ˙ φz ′ = ˙ φ cos θ . (6.108)
Mit ˙ ′
θ� � ξ -Achse folgt wegen
⎛
ξ
⎝
′ ⎞
0 ⎠ =
0
ˆ B −1
⎛
x
⎝
′ ⎞ ⎛
cos ψ
0 ⎠ = ⎝sin
ψ
− sin ψ
cos ψ
⎞ ⎛
0 x
0⎠
⎝
0 0 0 1
′ ⎞
0 ⎠
0
aus der Inversion der Matrix ˆ B
˙�θ = ˙ ⎛ ⎞
cos ψ
θ ⎝−
sin ψ⎠
,
0
so dass ˙ θx ′ = ˙ θ cos ψ , ˙ θy ′ = − ˙ θ sin ψ , ˙ θz ′ = 0 . (6.109)
Mit den Gleichungen (6.107)–(6.109) folgt für die Gleichungen (6.106)
(a) ω x ′ = ˙ φ sin ψ sin θ + ˙ θ cos ψ ,
(b) ω y ′ = ˙ φ cos ψ sin θ − ˙ θ sin ψ ,
(c) ω z ′ = ˙ φ cos θ + ˙ ψ . (6.110)
Wir erhalten sofort
ω 2
x ′ = ˙ φ 2 sin 2 ψ sin 2 θ + ˙ θ 2 cos 2 ψ + 2 ˙ φ ˙ θ sin ψ sin θ cos ψ , (6.111)
ω 2
y ′ = ˙ φ 2 cos 2 ψ sin 2 θ + ˙ θ 2 sin 2 ψ − 2 ˙ φ ˙ θ cos ψ sin θ sin ψ (6.112)
und ω 2
z ′ = ˙ φ 2 cos 2 θ + ˙ ψ 2 + 2 ˙ φ ˙ ψ cos θ . (6.113)
Für die Rotationsenergie (6.104) folgt dann
Trot = Θ1
� �
˙φ 2 2 2
sin ψ sin θ + θ˙ 2 2
cos ψ + 2φ˙ θ˙ sin ψ sin θ cos ψ
2
� �
˙φ 2 2 2
cos ψ sin θ + θ˙ 2 2
sin ψ − 2φ˙ θ˙ cos ψ sin θ sin ψ
+ Θ2
2
+ Θ3
2
� �
˙φ 2 2
cos θ + ψ˙ 2
+ 2φ˙ ψ˙ cos θ
. (6.114)
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