R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Einheitsvektoren
mit dem Skalenfaktor
1.11 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
�eqi
1 ∂�r
=
hi ∂qi
, (1.120)
� �
�
hi = �
∂�r �
�
�∂qi
� . (1.121)
Wir nehmen an, dass die neuen Einheitsvektoren �eq1 , �eq2 und �eq3 ein rechtshändiges orthogonales
Koordinatensystem bilden, d.h.
Aus �r = �r(qi) folgt mit Gleichung (1.120)
�eqν · �eqµ = δνµ , µ , ν = 1, 2, 3 . (1.122)
d�r = ∂�r
dq1 +
∂q1
∂�r
dq2 +
∂q2
∂�r
dq3
∂q3
= h1dq1�eq1 + h2dq2�eq2 + h3dq3�eq3
3�
= hidqi�eqi . (1.123)
i=1
Für das Quadrat der Bogenlänge erhalten wir dann unter Ausnutzung von Gleichung (1.122)
(ds) 2 = d�r · d�r =
während für das Volumenelement gilt
1.11.2 Gradient
Gemäß Gleichung (1.87) gilt
Nach Gleichung (1.123) gilt
Wir setzen als Ansatz an
=
3�
ν=1 µ=1
3�
hνhµdqνdqµ�eqν · �eqµ
3�
h 2 µdq 2 µ = h 2 1dq 2 1 + h 2 2dq 2 2 + h 2 3dq 2 3 , (1.124)
µ=1
dV = d 3 r = |h1dq1�eq1 · [h2dq2�eq2 × h3dq3�eq3 ]|
= h1h2h3dq1dq2dq3 |�eq1 · (�eq2 × �eq3 )|
= h1h2h3dq1dq2dq3 . (1.125)
dψ = � ∇ψ · d�r = ∂ψ
∂q1
dq1 + ∂ψ
dq2 +
∂q2
∂ψ
dq3 . (1.126)
∂q3
d�r = h1dq1�eq1 + h2dq2�eq2 + h3dq3�eq3 . (1.127)
�∇Φ = λ1�eq1 + λ2�eq2 + λ3�eq3
(1.128)
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