R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.5 Energieerhaltungssatz im Fall von holonomen Zwangsbedingungen
deren Stammfunktion durch G(s, φ) = s − Rφ gegeben ist.
Alle Zwangsbedingungen, die die Definition (3.58) nicht erfüllen, werden als nicht-holonome
Zwangsbedingungen bezeichnet. Dazu gehören die bereits erwähnten Ungleichungen (z.B.
Teilchen innerhalb einer Kugel |�r| ≤ R, wobei R den Kugelradius bezeichnet), oder Zwangsbedingungen
in Form von nicht-integrablen Differentialformen.
3.5 Energieerhaltungssatz im Fall von holonomen
Zwangsbedingungen
Betrachten wir jetzt die Energieerhaltung eines Systems mit N Massenpunkten. Schreiben
wir in den Gleichungen (3.57) die Ortsvektoren �ri = (x1, x2, x3) in Komponentendarstellung,
so erhalten wir die 3N Gleichungen
mi ¨xi = Ki +
p�
j=1
∂Gj
λj
∂xi
, i = 1, . . . , 3N , (3.63)
mit Gj (x1, . . . , x3N, t) = 0 , j = 1, . . . , p . (3.64)
Wir multiplizieren Gleichung (3.63) mit ˙xi und summieren über alle i. Für den ersten Term
der Gleichung ergibt sich
3N�
i=1
mi ¨xi ˙xi = d
dt
3N�
i=1
mi
2 ( ¨xi) 2 = d
dt T
wobei T die gesamte kinetische Energie des Systems bezeichnet.
Wir nehmen an, dass das äußere Kraftfeld konservativ ist, d.h. als Gradient eines Potentials
U dargestellt werden kann:
Ki = − ∂U
(3.65)
∂xi
Wir erhalten dann für den zweiten Term in Gleichung (3.63) nach Multiplikation mit ˙xi und
Summation über alle i:
3N�
i=1
Ki ˙xi = −
3N�
i=1
Damit erhalten wir aus Gleichung (3.63)
∂U
∂xi
d
(T + U) =
dt
˙xi = − d
dt U (x1, . . . , x3N) .
p�
3N�
j=1 i=1
∂Gj
λj ˙xi . (3.66)
∂xi
Die Lösungen der Bewegungsgleichungen xi(t) müssen die Zwangsbedingungen (3.64)
Gj (x1(t), . . . , x3N(t), t) = 0
81