R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.3 Kanonische Transformationen
weil nach Gleichung (5.58) pj = (∂F1/∂qj). Damit erhält man als Transformationsgleichungen
qj = − ∂F3 (p, Q, t)
∂pj
, Pj = − ∂F3 (p, Q, t)
∂Qj
,
¯ H = H + ∂F3 (p, Q, t)
∂t
F4(p, P, t) erhält man aus F1(q, Q, t) durch die doppelte Legendre-Transformation
. (5.67)
F4 (p, P, t) = F1 (q, Q, t) + �
PjQj − �
qjpj . (5.68)
Als Transformationsgleichungen ergeben sich in diesem Fall
qj = − ∂F4 (p, P, t)
∂pj
, Qj = ∂F4 (p, P, t)
∂Pj
j
,
j
¯ H = H + ∂F4 (p, P, t)
∂t
. (5.69)
In Tabelle 5.1 haben wir die Transformationseigenschaften der vier Erzeugenden zusammengefasst.
In allen Fällen ist
¯H = H + ∂Fi
∂t
, i = 1, 2, 3, 4 . (5.70)
Tabelle 5.1: Transformationseigenschaften der erzeugenden Funktionen
Q P
q F1(q, Q, t) F2(q, P, t)
pj = ∂F1
∂qj , Pj = − ∂F1
∂Qj
pj = ∂F2
∂qj , Qj = ∂F2
∂Pj
p F3(p, Q, t) F4(p, P, t)
qj = − ∂F3
∂pj , Pj = − ∂F3
∂Qj
qj = − ∂F4
∂pj , Qj = ∂F4
∂Pj
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