R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
Mit der Hamiltonschen Formulierung der Bewegungsgleichungen geschieht oberflächlich betrachtet
nur eine mathematische Neuformulierung der Lagrange-Gleichungen 2. Art. Diese
Neuformulierung ist aber wichtig für das Verständnis der Quantenmechanik.
5.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
Das Ziel unserer Überlegungen ist der Übergang von den Veränderlichen
�
Ort �q , Geschwindigkeit ˙ �
�q , Zeit t
→
�
�
Ort �q , Impuls �p , Zeit t
. (5.1)
Die Vektoren deuten an, dass es sich jeweils um die Anzahl s verallgemeinerter Koordinaten
handelt.
Nach Gleichung (3.195) ist der in Gleichung (5.1) eingehende kanonisch konjugierte Impuls
durch
pj ≡ ∂L
(5.2)
∂qj ˙
definiert. Die Art des Übergangs (5.1), in dem eine partielle Ableitung als neue Variable
auftaucht, geschieht elegant durch die sogenannte Legendre-Transformation.
5.1.1 Mathematischer Einschub: Legendre-Transformation
Wir betrachten den Übergang von einer Funktion f(x, y) zur Funktion
g(x, u) =
�
g x, ∂f
�
,
∂y
mit g(x, u) ≡ uy − f(x, y) ,
mit u = ∂f
.
∂y
(5.3)
Die so gebildete Funktion g enthält y nicht mehr als unabhängige Variable, wie man am
totalen Differential erkennt:
�
∂f ∂f
dg = ydu + udy − df = ydu + udy − dx +
∂x ∂y dy
�
.
163