R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

so dass wir den Virial-Satz erhalten
3.14 Der Virialsatz
〈T 〉 = − 1
N�
�Fi · �ri . (3.258)
2
Dieser erweist sich als sehr nützlich in der kinetischen Theorie der Gase.
Wir nehmen jetzt zwei zusätzliche Bedingungen für die Kraft � Fi an:
(a) Die Kraft ist konservativ: � Fi = − � ∇iV .
(b) Das Potential ist eine homogene Funktion vom Grad k, d.h. V (λx) = λ k V (x).
Dann gilt das Euler-Theorem (3.200):
N�
i=1
i=1
� �
�∇iV · �ri = kV . (3.259)
Mit Bedingung (a) und (3.259) erhalten wir für den Virialsatz (3.258)
und für die Gesamtenergie folgt
〈T 〉 = 1
N� � �
�∇iV · �ri =
2
k
〈V 〉 (3.260)
2
i=1
E = 〈T 〉 + 〈V 〉 =
k + 2
2
〈V 〉 =
k + 2
k
〈T 〉 . (3.261)
Betrachten wir als Beispiel den harmonischen Oszillator (Kap. 2.4.4) mit dem Potential
V = ar 2 , d.h. vom Grad k = 2. In diesem Fall ist
〈T 〉 = 〈V 〉
und E = 2 〈V 〉 = 2 〈T 〉 .
Im Beispiel des Gravitationspotentials V = −b/r, d.h. vom Grad k = −1, ist
〈T 〉 = − 1
〈V 〉
2
und E = − 1
〈V 〉 + 〈V 〉 = −
2
� �
b
2r
< 0 .
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