R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
übrig bleibt.
Man kann die 2n Gleichungen (5.58)–(5.59) nach q = q(Q, P, t) und p = p(Q, P, t) auflösen.
Setzt man diese auf der rechten Seite von Gleichung (5.60) ein, so folgt die neue Hamilton-
Funktion ¯ H(Q, P, t).
Als nächstes behandeln wir die Transformationsgleichungen für eine Erzeugende vom Typ
F2(q, P, t). Diese lässt sich durch eine Legendre-Transformation aus F1 ableiten, da nach
Gleichung (5.59) Pj = −(∂F1/∂Qj) ist; es gilt also
Dann erhalten wir für Gleichung (5.55)
�
pj ˙qj − H (�q, �p, t) = �
Pj ˙ Qj − ¯ H
j
F2 (q, P, t) = F1 (q, Q, t) + �
PjQj . (5.61)
j
= �
Pj ˙ Qj − ¯ H
Daraus folgt
�
pj ˙qj − �
Pj ˙ Qj − H + ¯ H
oder
j
j
j
� �
�Q, P � , t + dF1
dt
� �
�Q, P � , t + d
dt
j
⎡
⎣F2 (q, P, t) − �
= ∂F2
� ∂F2
+ ˙qj +
∂t ∂qj j
� ∂F2
Pj
˙ −
∂Pj j
�
PjQj
˙ −
j
�
j
�
pj ˙qj + �
PjQj
˙ − H + ¯ H
j
j
= ∂F2
∂t
Der Koeffizientenvergleich ergibt
j
PjQj
Pj ˙ Qj
⎤
⎦ .
� ∂F2
+ ˙qj +
∂qj
� ∂F2
Pj
˙ . (5.62)
∂Pj
j
j
pj = ∂F2 (q, P, t)
,
∂qj
(5.63)
Qj = ∂F2 (q, P, t)
,
∂Pj
(5.64)
¯H(Pi, Qi, t) = H(pi, qi, t) + ∂F2 (q, P, t)
.
∂t
(5.65)
Ähnlich verfährt man mit den Erzeugenden F3 und F4 (Übungsaufgaben).
F3(p, Q, t) erhält man aus F1(q, Q, t) durch die Legendre-Transformation
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F3 (p, Q, t) = − �
qjpj + F1 (q, Q, t) , (5.66)
j