R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Satz von Poincare: Das Integral
� �
�
�
J1 = dqidpi =
S
i
S
5.8 Integralinvarianten von Poincare
�
�
dQkdPk
k
(5.146)
ist gegenüber kanonischen Transformationen invariant, wobei S anzeigt, dass das Integral
über eine beliebige 2-dimensionale Fläche im Phasenraum zu erstrecken ist.
Beweis:
Zwei Parameter u und v kennzeichnen die Lage eines Punktes auf der 2-dimensionalen Fläche
S vollständig. Dort sei qi = qi(u, v), pi = pi(u, v). Dann kann ein Flächenelement dqidpi
mithilfe der Jacobi-Determinante
∂(qi, pi)
∂(u, v) ≡
�
�
�
�
∂qi
∂u
∂qi
∂v
auf ein Flächenelement dudv transformiert werden:
∂pi
∂u
∂pi
∂v
dqidpi = ∂ (qi, pi)
dudv .
∂(u, v)
Somit ist die Behauptung (5.146) äquivalent zu
�
S
� �
i
� �
∂ (qi, pi)
�
dudv =
∂(u, v) S
k
�
�
�
� . (5.147)
∂ (Qk, Pk)
dudv .
∂(u, v)
Da das Integrationsgebiet S beliebig ist, können die Integrale nur dann gleich sein, wenn die
Integranden identisch sind
�
i
∂ (qi, pi) �
dudv =
∂(u, v)
k
∂ (Qk, Pk)
dudv .
∂(u, v)
Wir fassen die kanonische Transformation von den (q, p) zu den (Q, P ) so auf, als hätten wir
sie aus einer Erzeugenden vom Typ F2(q, P, t) erhalten. Mit Gleichung (5.63) pi = ∂F2/∂qi
ist
∂pi
∂u
� �
∂ ∂F2 (q, P, t)
= .
∂u ∂qi
Die Größe in der Klammer ist wegen ihrer Argumente q und P eine Funktion von u und wir
erhalten
∂pi
� ∂
=
∂u 2F2 (q, P, t) ∂Pk
� ∂
+
∂qi∂Pk ∂u 2F2 (q, P, t) ∂qk
∂qi∂qk ∂u .
Ebenso gilt
∂pi
∂v
k
� ∂
= 2F2 (q, P, t)
∂qi∂Pk
k
∂Pk
∂v
k
� ∂
+ 2F2 (q, P, t)
∂qi∂qk
k
∂qk
∂v .
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