R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Verrückungen δ�ri nicht mehr linear unabhängig sind, da sie die Zwangsbedingungen erfüllen!
Deshalb folgt im statischen Fall ˙ �p = 0 aus Gleichung (3.76) auch nicht � K = 0, denn die
Komponenten δx, δy und δz der virtuellen Verrückung sind aufgrund der Zwangsbedingungen
nicht voneinander unabhängig. Diesen Nachteil können wir beheben, indem wir auf geeignet
gewählte neue verallgemeinerte Koordinaten übergehen.
3.6.3 Verallgemeinerte Koordinaten
Es sollen nun die durch die Zwangsbedingungen voneinander abhängigen Koordinaten (�ri)
durch eine Transformation auf ein System von unabhängigen Koordinaten (�qj) zurückgeführt
werden, sogenannte verallgemeinerte Koordinaten. Erst wenn die virtuellen Verrückungen
(in den verallgemeinerten Koordinaten) voneinander unabhängig sind, können die Koeffizienten
der δ�qj einzeln gleich Null gesetzt werden. Der Raum der verallgemeinerten Koordinaten
heißt Konfigurationsraum und seine Dimension nennt man die Anzahl der Freiheitsgrade.
Im Fall von holonomen Zwangsbedingungen heißt das, dass die Zwangsbedingungen für
beliebige Werte der qj erfüllt sind:
Gm (x1 (q1, . . . , qs, t) , . . . , x3N (q1, . . . , qs, t) , t) = 0 , ∀qj . (3.77)
Dies verdeutlichen wir an zwei bereits bekannten Beispielen:
(a) Vernachlässigen wir bei der schiefen Ebene in Abb. 3.1 die triviale Tiefe y, so handelt
es sich um ein zweidimensionales mechanisches Problem in x und z. Wählen wir die
Strecke s auf der schiefen Ebene als verallgemeinerte Koordinate, so legt diese die zwei
kartesischen Koordinaten gemäß x = s cos α und z = s sin α fest.
Die holonome Zwangsbedingung (3.42) ist dann automatisch erfüllt, denn
G(x(s), z(s)) = z − x tan α = s sin α − s cos α tan α = 0
und wir haben es mit einem eindimensionalen Problem in der verallgemeinerten Koordinate
s zu tun.
(b) Beim ebenen Pendel wählen wir den Auslenkungswinkel φ als verallgemeinerte Koordinate,
der dann die zwei kartesischen Koordinaten gemäß x = l sin φ und y = l cos φ
festlegt. Die holonome Zwangsbedingung (3.4 b) ist dann wieder automatisch erfüllt,
denn
G(x(φ), y(φ)) = x 2 (φ) + y 2 (φ) = l 2 � sin 2 φ + cos 2 φ � = l 2 .
Für holonome Zwangsbedingungen lässt sich das Prinzip von d’Alembert (3.75) aus den
Lagrange-Gleichungen 1. Art (3.57) begründen. Die Unabhängigkeit der Zwangsbedingungen
(3.77) von qj bedeutet für die totale Ableitung
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dGm
dqj
=
3N�
i=1
∂Gm ∂xi
= 0 . (3.78)
∂xi ∂qj