R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

l + l
1 2
folgt für die kinetische Energie des Systems
T = m1
2
x
φ 1
m 2
y
l 1
l 2 φ 2
ge x
m 1
Abbildung 3.6: Doppelpendel (φ = θ)
� 2
˙x 1 + ˙y 2� m2
1 +
= m1
2 l2 1 ˙ θ 2 1 + m2
2
2
� 2
˙x 2 + ˙y 2� 2
�
l 2 1 ˙ θ 2 1 sin 2 θ1 + 2l1l2 ˙ θ1 ˙ θ2 sin θ1 sin θ2
3.9 Weitere Anwendungen
+ l 2 2 ˙ θ 2 2 sin 2 θ2 + l 2 1 ˙ θ 2 1 cos 2 θ1 + 2l1l2 ˙ θ1 ˙ θ2 cos θ1 cos θ2 + l 2 2 ˙ θ 2 2 cos 2 θ2
= m1
2 l2 1 ˙ θ 2 1 + m2
2
= m1
2 l2 1 ˙ θ 2 1 + m2
2
�
l 2 1 ˙ θ 2 1 + l 2 2 ˙ θ 2 2 + 2l1l2 ˙ θ1 ˙ θ2 (sin θ1 sin θ2 + cos θ1 cos θ2)
�
l 2 1 ˙ θ 2 1 + l 2 2 ˙ θ 2 2 + 2l1l2 ˙ θ1 ˙ θ2 cos (θ1 − θ2)
wobei wir sin θ1 sin θ2 + cos θ1 cos θ2 = cos (θ1 − θ2)
�
�
�
, (3.109)
benutzt haben.
Die potentielle Energie in Bezug auf die Ebene im Abstand l1 + l2 unterhalb des Aufhängepunkts
lautet
V = m1g [(l1 + l2) − l1 cos θ1] + m2g [(l1 + l2) − (l1 cos θ1 + l2 cos θ2)] . (3.110)
Für die Lagrange-Funktion erhalten wir dann
L = T − V = m1
2 l2 1 ˙ θ 2 1 + m2
2
−m1g [(l1 + l2) − l1 cos θ1]
�
l 2 1 ˙ θ 2 1 + l 2 2 ˙ θ 2 2 + 2l1l2 ˙ θ1 ˙ �
θ2 cos (θ1 − θ2)
−m2g [(l1 + l2) − (l1 cos θ1 + l2 cos θ2)] . (3.111)
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