R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.12 Symmetrien und Erhaltungssätze
Wir merken an, dass wir die Beziehung (3.206) alternativ auch direkt aus der Darstellung
(3.205) beweisen können. Aus jener folgt
Es folgt
�
l
∂T
∂ ˙ql
∂T
∂ ˙
ql
= �
ajl ˙qj + �
alk ˙qk .
weil Indizes beliebig nummeriert werden können.
j
˙ql = � �
ajl ˙qj ˙ql + � �
alk ˙qk ˙ql = 2T ,
l
3.12.2 Impulssatz, Schwerpunktsystem, Schwerpunktsatz
j
Wir beweisen jetzt weitere Erhaltungssätze.
Impulssatz: Der Gesamtimpuls � P = �N i=1 �pi eines Systems von N Massenpunkten bleibt
erhalten, wenn die Lagrange-Funktion translationsinvariant ist.
Translationsinvarianz bedeutet, dass das N-Teilchensystem in eine beliebige Richtung verschoben
werden kann, ohne dass sich die Lagrange-Funktion ändert. Es darf daher kein
äußeres Potential V geben, deren Gradient � F = −� ∇V eine ortsabhängige Kraft auf das
System ausübt und damit den Impuls der Teilchen gemäß ˙ �pi = −� ∇iV verändert. Diese
Eigenschaft des Systems wird als Homogenität des Raums bezeichnet.
Beweis: Bezeichne δL die Änderung der Lagrange-Funktion bei einer infinitesimalen Verschiebung
des Systems um δ�r. Die Verschiebung entspricht der Transformation �r ′
i = �ri + δ�r.
Die Geschwindigkeitsvektoren ändern sich nicht, weil ihre Richtungen in den Bezugssystemen
vor und nach der Koordinatentransformation unverändert bleiben. (Bei Drehungen ist
es allerdings anders, siehe Kap. 3.12.3!) Da sich nur die Ortsvektoren ändern, folgt bei
Translationsinvarianz (δL = 0)
δL =
Da δ�r �= 0 und beliebig ist, erhalten wir
k
l
k
N� ∂L
· δ�r = 0 .
∂�ri
i=1
N� ∂L
= 0 .
∂�ri
i=1
Stellt man die Lagrange-Gleichungen für alle Massenpunkte auf und summiert diese über alle
i, so folgt
N� d ∂L
dt ∂ ˙ N� ∂L
= = 0 .
�ri ∂�ri
i=1
i=1
115