R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
Damit setzt sich die gesamte kinetische Energie aus zwei Anteilen zusammen
T = Ttrans + Trot , (6.44)
mit Ttrans = M 2
V
2
(6.45)
und Trot = 1
N�
mi (�ω × �ri)
2
2 . (6.46)
i=1
Wenden wir erneut die Spatproduktregel (1.24) auf die Rotationsanteile der kinetischen
Energien an
(�ω × �ri) · (�ω × �ri) = �ω · [�ri × (�ω × �ri)] ,
so folgt Trot = �ω
2 ·
N�
mi�ri × (�ω × �ri) . (6.47)
Setzen wir gemäß Gleichung (6.43) �vi,K = �ω × �ri in den Gesamtdrehimpuls (6.42) ein, so
erhalten wir
N�
�L = mi�ri × (�ω × �ri) . (6.48)
i=1
Damit lässt sich Gleichung (6.47) schreiben als
Trot = 1
2 �ω · � L . (6.49)
Mit der Identität (1.22) für das dreifache Kreuzprodukt in der Gleichung (6.48) erhalten wir
N�
�L = mi [�ω (�ri · �ri) − �ri (�ri · �ω)] . (6.50)
i=1
Für die drei Komponenten folgen dann
Lx =
N� �
mi ωxr 2 i − xi (xiωx + yiωy + ziωz) �
210
=
Ly =
=
Lz =
=
i=1
N�
i=1
N�
i=1
N�
i=1
N�
i=1
N�
i=1
i=1
�� 2
mi ri − x 2� �
i ωx − xiyiωy − xiziωz ,
�
mi ωyr 2 i − yi (xiωx + yiωy + ziωz) �
�
mi −xiyiωx + � r 2 i − y 2� �
i ωy − yiziωz ,
�
mi ωzr 2 i − zi (xiωx + yiωy + ziωz) �
�
mi −xiziωx − yiziωy + � r 2 i − z 2� �
i ωz ,