R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Durch Einsetzen von (∂L/∂qi) aus Gleichung (3.96) und qi = hi(�q, 0) = hi(�q, α)α=0 folgt
wegen der Vertauschbarkeit der Differentiationen nach t und α:
s�
i=1
� d
dt
� � � �
∂L dhi (�q, α)
∂ ˙qi
dα
α=0
d
dt
+ ∂L
� �
d dhi (�q, α)
∂ ˙qi dt dα
s�
� � �
∂L dhi (�q, α)
i=1
∂ ˙qi
dα
α=0
α=0
�
�
=
= 0 . (3.225)
womit die Behauptung bewiesen ist. Q.E.D.
Mit dem Noether-Theorem beweisen wir jetzt spezielle Symmetrie-Eigenschaften.
Homogenität des Raumes: Da kein Raumpunkt ausgezeichnet ist, stellt für ein abgeschlossenes
System die Verschiebung um ax in x-Richtung eine Symmetrietransformation dar. Für
ein N-Teilchensystem ist
˜xj = xj + ax , j = 1, . . . , N .
Das entsprechende Bewegungsintegral ist nach dem Noether-Theorem (3.222)
N�
j=1
� �
∂L d
(xj + ax) =
∂ ˙xj dax
ax=0
N�
j=1
∂L
∂ ˙xj
=
N�
pxj = Px , (3.226)
also die x-Komponente des Gesamtimpulses. Entsprechendes gilt für die y- und die z-
Koordinate.
Isotropie des Raumes: Da keine Drehrichtung im Raum ausgezeichnet ist, stellt die Drehung
um die z-Achse um αz für abgeschlossene Systeme eine Symmetrietransformation dar.
Die Lagrange-Funktion muss dabei invariant bleiben. Die Koordinaten eines Systems von
Massenpunkten ändern sich bei der Drehung in folgender Weise (vergl. Kap. 1.5):
j=1
˜xj = xj cos αz − yj sin αz , ˜yj = xj sin αz + yj cos αz .
Das zugehörige Bewegungsintegral ist dann
=
N�
� � �
∂L d
(xj cos αz − yj sin αz)
∂ ˙xj dαz
j=1
+ ∂L
� � �
d
(xj sin αz + yj cos αz)
∂ ˙yj dαz
αz=0
N�
�
∂L
xj −
∂ ˙yj
∂L
� N�
yj =
∂ ˙xj
j=1
j=1
αz=0
(xjpyj − yjpxj) =
N�
lzj = Lz , (3.227)
also die z-Komponente des Gesamtdrehimpulses. Entsprechendes gilt für die x- und die y-
Komponente.
122
j=1