R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6.4 Trägheitstensor und Hauptachsentransformation
6.4 Trägheitstensor und Hauptachsentransformation
Zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen des starren Körpers ist es hilfreich, den sogenannten
Trägheitstensor einzuführen. Dazu erinnern wir uns, dass der Drehimpuls � Li eines
Massenpunktes mi bezüglich des Koordinatenursprungs durch
�Li = �ri × �pi = mi�ri × �vi
definiert ist. Hat man ein System von N Massenpunkten, so ist der Gesamtdrehimpuls
6.4.1 Trägheitstensor
�L =
N�
�Li =
i=1
N�
mi (�ri × �vi) . (6.42)
i=1
Gemäß unserer Diskussion in Kap. 6.1 und 6.3 ist jede Bewegung des starren Körpers zusammengesetzt
aus der Translation des Schwerpunkts und der Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit
�ω. Setzen wir das körperfeste Koordinatensystem mit dem Schwerpunktsystem
gleich, so gilt nach Gleichung (6.30) für die Geschwindigkeit des i-ten Massenpunktes
�vi,R = � V + �ω × �ri , (6.43)
wobei � V die Translationsgeschwindigkeit des Schwerpunkts des Systems ist. Für die gesamte
kinetische Energie des Systems von N Massenpunkten erhalten wir dann
T = 1
2
= 1
2
= 1
2
N�
i=1
N�
i=1
miv 2 i,R
mi
N�
miV 2 +
i=1
Mit der Spatproduktregel (1.24)
� �V + �ω × �ri
N�
i=1
� 2
mi � V · (�ω × �ri) + 1
2
� �
�V · (�ω × �ri) = �ri · �V × �ω
N�
mi (�ω × �ri) 2 .
finden wir, dass der zweite Term aufgrund der Schwerpunktbedingung (siehe Kap. 3.12.2)
verschwindet, d. h.
i=1
N�
mi � � � �N
V · (�ω × �ri) = �V × �ω mi�ri = 0 .
i=1
i=1
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