R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
so dass die Klammer in Gleichung (4.99) verschwindet. Wir erhalten also
˙�B = d
�
˙�r ×
dt
�l − α �r
�
= 0 , (4.101)
r
d.h. der Runge-Lenz-Vektor � B ist bei der Keplerbewegung eine Erhaltungsgröße.
Man überlegt sich leicht, dass der Runge-Lenz-Vektor � B immer in Richtung des Perihels
zeigt: dazu betrachten wir den Ortsvektor �r des Perihels (nächster Punkt). Dann liegt ˙ �r ⊥ �r
in der Ebene der Bahnbewegung und � l steht senkrecht auf dieser Ebene (siehe Abb. 4.16).
Somit zeigen ˙ �r × � l und natürlich auch �r/r in Richtung des Perihels. Weil � B Erhaltungsgröße
ist, ändert sich der Ort des Perihels nicht.
m 1
r
.
r l
.
r l
Abbildung 4.16: Zur Richtung des Runge-Lenz-Vektors
Bilden wir das Skalarprodukt � B · �r = Br cos φ mit φ = ∠( � B, �r), dann folgt mit Gleichung
(4.97) und der Spatprodukt-Regel (1.24)
�B · �r = Br cos φ =
�
�r · ˙�r × �l − α �r
=
�
r
� �
−αr + �r · ˙�r × �l = −αr + � �
l · �r × ˙ �
�r = l2
µ − αr
oder r =
l 2
µ
α + B cos φ =
l 2
µα
1 + B
α
cos φ =
p
1 + ɛ cos φ
wieder die Bahngleichung (4.43) unter Zuhilfenahme von Erhaltungsgrößen.
4.8 Das Streuproblem
(4.102)
Das Zweikörperproblem lässt sich auch auf Streuexperimente der Kernphysik bei Coulombwechselwirkung
anwenden. Wir machen dabei die vereinfachende Annahme, dass die Masse
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