R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Flächen lassen sich ebenfalls durch Funktionen G(x, y, z) = 0 darstellen. Falls sich die Fläche
(z.B. Schaukel) bewegt, kommt zusätzlich noch die Abhängigkeit von der Zeit t hinzu:
G(x, y, z, t) = 0 . (3.38)
Zwangsbedingungen von der Art (3.37)–(3.38) heißen holonome Zwangsbedingungen; zeitunabhängige
wie in Gleichung (3.37) nennt man zusätzlich noch skleronom, zeitabhängige wie
in Gleichung (3.38) rheonom. Als Beispiel für eine rheonome, holonome Zwangsbedingung
dient die schaukelnde schiefe Ebene (3.36) mit zeitabhängigem Winkel α(t).
Alle Zwangsbedingungen, die sich nicht durch eine Gleichung der Art (3.38) darstellen lassen,
heißen nicht-holonom; alle Ungleichungen fallen darunter (z.B. Lostrommel beim Lotto, bei
der sich die 49 Kugeln nur innerhalb der Trommel bewegen können).
3.4 Lagrange-Gleichungen 1. Art
Wenn die Bewegung eines Teilchens durch eine holonome Zwangsbedingung
G (�r, t) = 0 (3.39)
auf eine Fläche beschränkt wird, so bedeutet dies keine Einschränkung oder Beeinflussung
für die Bewegung innerhalb der Fläche. Die Zwangskraft � Z hat daher keine Komponente
in Richtung der Fläche; sie muss vielmehr orthogonal zur Fläche stehen. Wäre es nicht so,
könnte die Zwangskraft den Massenpunkt in Bewegung setzen, selbst wenn keine äußeren
Kräfte � K = 0 vorliegen.
Aufgrund des in Gleichung (1.88) bewiesenen Satzes, dass der Gradient einer Äquipotentialfläche
senkrecht zu dieser steht, gestattet Gleichung (3.39) den Ansatz
�Z � grad G (�r, t) = � ∇G (�r, t) ,
oder � Z = λ(t) � ∇G (�r, t) , (3.40)
wobei die Lagrange-Parameter λ(t) zunächst unbekannte Funktionen der Zeit t sind.
Für die Bewegungsgleichung (3.5) erhält man dann
m ¨ �r = � K + λ(t) � ∇G (�r, t) , G (�r, t) = 0 , (3.41)
die Lagrange-Gleichung 1. Art für ein Einteilchensystem mit einer Zwangsbedingung. Die
Beziehungen (3.41) bilden vier Differentialgleichungen für die vier Unbekannten x, y, z und λ,
und die Aufgabe besteht darin, zuerst λ zu bestimmen und damit die Bewegungsgleichungen
für die Ortskoordinaten x(t), y(t) und z(t) zu integrieren. Dieses illustrieren wir am Beispiel
der schiefen Ebene.
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