R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Aus den Gleichungen (5.52) und (5.54) folgt also
�
pjdqj − H (�q, �p, t) dt = �
PjdQj − ¯ H
j
mit dF = ∂f �
dt +
∂t
j
j
5.3 Kanonische Transformationen
� � �
�Q, P � , t dt + dF �q, � �
Q, t
, (5.55)
∂F
dqj +
∂qj
� ∂F
dQj . (5.56)
∂Qj
Die erzeugende Funktion F ist im Allgemeinen eine Funktion F = F (�q, �p, � Q, � P , t) der
“neuen” und “alten” Koordinaten, also von 4n Variablen. Die konjugierten Impulse sind
aber über ihre zeitliche Ableitung gemäß den kanonischen Gleichungen durch die Ableitung
der Hamilton-Funktion (aus der bekannten Lagrange-Funktion) nach �q und � Q schon implizit
durch F1(�q, � Q, t) gegeben. Von den 4n Variablen sind nur 2n unabhängig voneinander, daher
können wir die erzeugende Funktion in einer der folgenden vier Formen schreiben:
(a) F1(qi, Qi, t)
(b) F2(qi, Pi, t)
(c) F3(pi, Qi, t)
(d) F4(pi, Pi, t)
je nach Art des Problems.
Ist zum Beispiel die erste Form F1 geeignet, so folgt aus Gleichung (5.56)
dF1
dt
= ∂F1
∂t
� ∂F1
+ ˙qj +
∂qj
� ∂F1 ˙Qj .
∂Qj
Setzen wir dies in Gleichung (5.55) ein, erhalten wir
�
pj ˙qj − H (�q, �p, t) = �
Pj ˙ Qj − ¯ H
j
j
j
j
j
j
j
� �
�Q, P � , t + ∂F1
� ∂F1
+ ˙qj +
∂t ∂qj j
� ∂F1
∂Qj j
oder nach Umstellen
�
�
pj − ∂F1
�
˙qj =
∂qj
�
�
Pj + ∂F1
�
˙Qj + H (�q, �p, t) −
∂Qj
¯ H
� �
�Q, P � , t + ∂F1
∂t
˙Qj ,
. (5.57)
Da die alten (qj) und neuen (Qj) Koordinaten hier als unabhängig angesehen werden, müssen
die Koeffizienten der ˙qj und ˙ Qj einzeln verschwinden, d.h.
pj = ∂F1
∂qj
= pj (q, Q, t) , (5.58)
Pj = − ∂F1
∂Qj
= Pj (q, Q, t) , (5.59)
so dass H ¯ =
∂F1 (q, Q, t)
H +
∂t
(5.60)
175