R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

x
z
φ
z
r
Abbildung 1.12: Zur Einführung der Zylinderkoordinaten
ρ
1.8 Koordinatensysteme
Abbildung 1.13 zeigt, dass die Koordinatenfläche für ρ = const. einem Kreiszylinder um
die z-Achse entspricht. Die Koordinatenfläche für φ = const. ergibt eine Halbebene, die
die z-Achse enthält, während die Koordinatenfläche für z = const. eine Ebene parallel zur
x − y-Ebene ergibt.
Gemäß der Definition (1.63) erhalten wir mit
für die drei Einheitsvektoren
�r = (x, y, z) = (ρ cos φ, ρ sin φ, z)
�eρ =
�eφ =
�ez =
�
�
∂�r
∂ρ
� ∂�r
∂ρ
�
�
∂�r
∂φ
� ∂�r
∂φ
∂�r
� ∂z
�
� ∂�r
∂z
�
�
= (cos φ, sin φ, 0) (1.68)
�
�
�
= (− sin φ, cos φ, 0) (1.69)
�
�
�
= (0, 0, 1) . (1.70)
�
Offensichtlich ist �eρ parallel zur x − y-Ebene und zeigt weg von der z-Achse; �eφ ist ebenfalls
parallel zur x − y-Ebene und ist die Tangente an den Kreis z = const. und ρ = const.; �ez
entspricht dem kartesischen Einheitsvektor �e3.
Aus den Beziehungen (1.68)–(1.69) erhält man
�e1 = �eρ cos φ − �eφ sin φ , �e2 = �eρ sin φ + �eφ cos φ . (1.71)
y
21