R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Aphel rmax rmin
m1 Perihel
Abbildung 4.15: Perihel und Aphel
Die totale zeitliche Ableitung dieses Vektors ist
weil nach (4.17) ˙ � l = �0. Mit
folgt dann
˙�B = ¨ �r × � l + ˙ �r × ˙ � l − α r ˙ �r − �r ˙r
r 2
Mit dem dreifachen Kreuzprodukt (1.22)
� �
�a × �b × �c
folgt für �a = � b = �r
und �c = ˙ �r
= ¨ �r × � l − α ˙ �r
r
4.7 Der Runge-Lenz-Vektor
˙r
+ α�r ,
r2 r 2 = �r · �r und r ˙r = �r · ˙ �r
˙�B = ¨ �r × �l − α r2 ˙ �r r ˙r
+ α�r
r3 r3 = ¨ �r × �l + α
r3 � �
�r �r · ˙ �
�r − ˙ �
�r (�r · �r) . (4.98)
= � �
b (�a · �c) − �c �a · � �
b
die Identität
�
�r �r · ˙ �
�r − ˙ �r (�r · �r) = �r × (�r × ˙ �r) ,
so dass
˙�B = ¨ �r × �l + α
r3 � �
�r × �r × ˙ =
��
�r
¨ �r × �l + α
µr3�r × � �
l = ¨�r + α �r
µ r3 �
× �l . (4.99)
Nach Gleichung (4.14) gilt für die Relativbewegung mit V (r) = −α/r
µ ¨ �r + ∂V
∂�r = µ¨ �r + α�r
= 0 , (4.100)
r3 157