R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
x 1
X 1
b
X 3
b
S
x 3
Abbildung 6.11: Alte Achsen Xi und Schwerpunktachsen xi des homogenen Würfels mit
einer Ecke im Ursprung
Der Schwerpunktvektor ist in diesem Fall
�
�R
b
= ,
2
b
,
2
�
b
,
2
d. h. R1 = R2 = R3 = b
2
und R 2 =
3�
R 2 3
k =
4 b2 .
In Kap. 6.4.1 haben wir die Komponenten des alten Trägheitstensors zu
Θ11 = Θ22 = Θ33 = 2
3 Mb2
und Θ12 = Θ13 = Θ23 = − 1
4 Mb2
berechnet.
Nach dem verallgemeinerten Steinerschen Satz (6.67) erhalten wir
I11 = Θ11 − M � R 2 − R 2� 2
1 =
3 Mb2 − 1
2 Mb2 = 1
6 Mb2
k=1
und I12 = Θ12 − M (−R1R2) = − 1
4 Mb2 + M b2
4
und analog I22 = I33 = I11 = 1
6 Mb2
und I13 = I23 = I12 = 0 .
Der neue Tensor ist also diagonal
Î = 1
6 Mb2ˆ1 = 1
6 Mb2
⎛ ⎞
1 0 0
⎝0
1 0⎠
.
0 0 1
216
b
X 2
x 2
= 0