R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
y
y ( t )
ωt
r
v
x ( t )
Abbildung 1.11: Kreisbewegung
Ortsvektors (1.50) nach der Zeit t erhalten wir für die Teilchengeschwindigkeit
�v(t) = Rω (− sin(ωt), cos(ωt), 0) (1.51)
und durch nochmaliges Ableiten für die Teilchenbeschleunigung
�a(t) = −Rω 2 (cos(ωt), sin(ωt), 0) = −ω 2 �r(t) . (1.52)
Man erkennt sofort, dass die Beschleunigung in Richtung vom Ortsvektor �r(t) wirkt, was
man als “Zentripetalbeschleunigung” bezeichnet. Darüber hinaus folgt für alle Zeiten t, dass
�v(t) · �r(t) = R 2 ω (− sin(ωt) cos(ωt) + sin(ωt) cos(ωt)) = 0 , (1.53)
d.h. dass der Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Ortsvektor (�v ⊥ �r) steht.
Für den Betrag der Geschwindigkeit erhält man
v = |�v| =
�
ω2R2 � sin2 ωt + cos2 ωt � = ωR = 2πR
. (1.54)
T
Dies entspricht gerade dem Verhältnis aus Kreisumfang (2πR) zur Umlaufzeit T .
Für den Betrag der Beschleunigung ergibt sich
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a = |�a| = ω 2 R = v2
R
R
x
. (1.55)