R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

is zur ersten Ordnung ergibt:
dψ = ψ(x + dx, y + dy, z + dz) − ψ(x, y, z) � ∂ψ
∂x
1.9 Vektorielle Differentialoperatoren
dx + ∂ψ
∂y
Mit d�r = (dx, dy, dz) lässt sich dψ auch als Skalarprodukt schreiben
dψ = � ∇ψ · d�r =
� ∂ψ
∂x
�
∂ψ ∂ψ
, ,
∂y ∂z
· (dx, dy, dz) = ∂ψ
∂x
dx + ∂ψ
∂y
∂ψ
dy + dz .
∂z
∂ψ
dy + dz , (1.87)
∂z
womit die Behauptungen bewiesen sind. Q.E.D.
Definition Äquipotentialfläche: Flächen, auf denen ψ(x, y, z) = const. ist, werden als
Äquipotentialflächen bezeichnet.
ψ(x, y, z) = const. ist äquivalent zu einem verschwindenden totalen Differential (dψ = 0),
so dass mit Gleichung (1.87) für Äquipotentialflächen folgt
dψ = 0 = � ∇ψ · d�rAF . (1.88)
Es folgt der für die klassische Mechanik wichtige Satz: Der Gradient von ψ steht stets
senkrecht auf den Äquipotentialflächen von ψ:
�∇ψ ⊥ d�rAF
(1.89)
(Der Gradientenvektor � ∇ψ zeigt immer in Richtung des stärksten Zuwachses von ψ, weil
dann der Zuwachs dψ parallel zu d�r ist, so dass das Skalarprodukt � ∇ψ · d�r maximal ist.)
Bildet man das Skalarprodukt des Gradientenvektor mit einem beliebigen zweiten Vektor � B,
so erhält man den neuen Operator
� �
�B · ∇�
=
Angewandt auf ein Skalarfeld Φ erhält man das skalare Feld � B · ( � ∇Φ):
� �
�B · ∇�
Φ =
3�
i=1
Bi
∂
Φ =
∂xi
Angewandt auf den Vektor � C erhält man
� � 3�
�
3�
�B · ∇�
�C
∂
= Bi
�C =
∂xi
i=1
i=1
Bi
3�
i=1
Bi
3�
i=1
∂C1
,
∂xi
∂
∂xi
Bi
∂Φ
∂xi
3�
i=1
einen neuen Vektor.
Bei der Rechnung (1.92) ist die Reihenfolge wichtig:
� � � �
�B · ∇�
�C �= C�
�B · ∇�
. (1.90)
Bi
= � � �
B · �∇Φ
∂C2
,
∂xi
.
3�
i=1
. (1.91)
�
∂C3
Bi
∂xi
(1.92)
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