R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.6 Separation der Variablen
Die HJD (5.120) wird damit zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung für W1
�
H q1, dW1
�
, α2, α3, . . . , αs = E . (5.130)
dq1
Gleichung (5.130) lässt sich verallgemeinern, so dass man generell jede zyklische Koordinate
qi durch einen Ansatz der Form
W = ¯ �
W
�
�
� � �
P + αiqi
(5.131)
qj,j�=i
separiert.
Für nicht-zyklische Koordinaten gibt es kein allgemeines Verfahren zur Separation.
5.6.1 Beispiel: Ebene Bewegung eines Teilchens im Zentralfeld
Zentralfeld bedeutet für das Potential V (�r) = V (r). Generalisierte Koordinaten sind hier
die Kugelkoordinaten, wobei die ebene Bewegung für θ = const. sorgt (vergl. Kap. 4.2). Es
bleiben also
q1 = r , q2 = φ . (5.132)
Wir stellen zunächst die Hamilton-Funktion H auf. Aus der Lagrange-Funktion der Relativbewegung
(4.18)
L = µ
�
˙r
2
2 + r 2 φ˙ 2 �
− V (r)
erhalten wir für die konjugierten Impulse
pr = ∂L
∂ ˙r
und pφ = ∂L
∂ ˙ φ = µr2 ˙ φ ,
= µ ˙r , ˙r = pr
µ
˙ φ = pφ
µr 2
und erhalten nach Gleichung (5.8)
H = �
pj ˙qj − L = pr ˙r + pφ
j
˙ φ − L = p2r µ + p2 �
φ p
−
µr2 2 r
2µ + p2 =
�
φ
− V (r)
2µr2 1
�
p
2µ
2 r + p2 φ
r2 �
+ V (r) . (5.133)
Die Koordinate φ ist zyklisch und damit ist pφ = αφ = l = const. (vergl. Gleichung (4.19)).
Nach Gleichung (5.131) wählen wir für die charakteristische Funktion W den Ansatz
W = W1(r) + αφφ . (5.134)
Weil (∂H/∂t) = 0 und ferner die Zwangsbedingung (Bewegung in der Ebene) skleronom ist,
lautet die zu lösende HJD (5.120)
��∂W �2 1
+
2µ ∂r
1
r2 � � �
2
∂W
+ V (r) = E ,
∂φ
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