R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
Gemäß Gleichung (5.118) folgt dann
px = ∂W
∂x = αx = const. = p0 ,
py = ∂W
∂y = αy = const. = 0 ,
und pz = ∂W
∂z = � 2m (E − mgz) − α 2 x − α 2 y
= � 2m (E − mgz) − p 2�1/2 0 .
Letztere Gleichung für z = 0 liefert
0 = � 2mE − p 2�1/2 0 ,
oder E = p2 0
2m .
Damit folgt
β1 = β2 = β3 = 0
und die Bewegungsgleichungen (5.141)–(5.142) reduzieren sich auf
5.7 Satz von Liouville
� 1/2
z(t) = − 1
2 gt2 , x(t) = p0
t , y(t) = 0 . (5.143)
m
Der Satz von Liouville hat grundlegende Bedeutung für die statistische Mechanik, d.h. der
Beschreibung von Systemen mit großer Teilchenanzahl O(10 23 ). Der Satz macht Aussagen
über das Verhalten der Teilchendichte im Phasenraum als Funktion der Zeit t.
p
t = t 1
G 1
q
t > t 1
Abbildung 5.4: Bewegung eines Volumens im Phasenraum
Wie in Abb. 5.4 skizziert, betrachten wir die Lage von f Massenpunkten zur Zeit t1 in einem
Gebiet G1 im 2f-dimensionalen Phasenraum mit dem Volumen
192
∆V = ∆q1 · · · ∆qf ∆p1 · · · ∆pf .
p
G 2
q