R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
x
φ
l
z
r
r = | r |
Abbildung 4.2: Zur Illustration der Relativbewegung
Die Koordinate φ taucht nicht in dieser Lagrange-Funktion auf, ist also zyklisch, so dass der
dazugehörige kanonisch konjugierte Impuls
p
pφ = ∂Lrel
∂ ˙ φ = µr2 ˙ φ ≡ l = const. (4.19)
eine Erhaltungsgröße ist. l ist der Betrag des Drehimpulses bezüglich des Schwerpunktsystems.
Natürlich entspricht (4.19) der Lagrange-Gleichung der Relativbewegung bezüglich der
Koordinate φ.
4.2.1 Flächensatz
Das Ergebnis (4.19) hat eine einfache geometrische Interpretation:
δφ
r (t )
1
r (t )
2
Abbildung 4.3: Zur Illustration des Flächensatzes
Wie in Abb. 4.3 skizziert, überstreicht der Radiusvektor �r(t) auf seiner Bahn im Zeitintervall
dt = t2 −t1 die Fläche dA = 1/2r 2 dφ (Fläche des Dreiecks). Teilen wir durch dt, so erhalten
134
y