Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Янко Слава (Библиотека <strong>Fort</strong>/<strong>Da</strong>) || http://yanko.lib.ru 135<br />
Открытие исчисления бесконечно малых величин и спор с Лейбницем<br />
В первые годы учения в колледже Св. Троицы в Кембридже Ньютон занимался преимущественно<br />
математикой: арифметикой,<br />
256 Научная революция<br />
тригонометрией и особенно геометрией, изучая ее по «Началам» Евклида, которые прочел с<br />
легкостью, и по «Геометрии» Декарта, стоившей ему гораздо больших трудов, особенно вначале. Как<br />
уже говорилось, Барроу быстро заметил выдающиеся способности своего ученика, особенно он оценил<br />
его новые идеи в области математики. И когда в 1669 г. он получил от Ньютона сочинение «Анализ с<br />
помощью уравнений с бесконечным числом членов», написанное в предыдущие три года, он отдал ему<br />
свою кафедру в Кембриджском университете. В действительности (и это важно в свете спора Ньютона с<br />
Лейбницем) первые работы Ньютона по математике написаны еще раньше. Через четыре года после<br />
«Анализа...» появляется трактат «Метод флюксий и бесконечных рядов» (Mcthodus fluxionum et seriarum<br />
infinitarum), который суммирует первые исследования. Это исследование бесконечно малых величин, т.<br />
е. речь идет о малых вариациях определенных величин, их отношений, позже названных производными<br />
дериватами, и их сумм под названием интегралов. При работе важным инструментом стала<br />
аналитическая геометрия Декарта, а именно: перевод кривых и поверхностей в алгебраические<br />
уравнения. Кроме того, он использовал исследования Франсуа Виета (1540—1603), особенно работу<br />
«Введение в аналитическое искусство», в которой разрабатывается приложение алгебры к геометрии<br />
посредством введения рудиментов буквенного счета с соответствующей символической записью. Для<br />
своих дальнейших математических исследований Ньютон использует работу «Ключ математики»<br />
Уильяма Отреда (1574—1660) и многие работы Джона Уоллиса (1616—1703).<br />
Импульсом к исследованиям бесконечно малых величин послужили проблемы измерения твердых<br />
тел, т. е. стереометрия. Крупнейшим исследователем в этой области стал Бонавентура Кавальери<br />
(1598(?)—1647), описавший в своей работе «Геометрия, развитая новым способом при помощи<br />
неделимых непрерывного» (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota),<br />
опубликованной в 1635 г., принцип, который сегодня носит его имя: если при пересечении двух тел<br />
плоскостями, параллельными некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то<br />
объемы тел равны. Изучение бесконечно малых величин было подготовлено также работой Кеплера<br />
«Новая стереометрия винных бочек» (1615); активным распространителем метода Кавальери был<br />
Эванджелиста Торричелли (1608— 1647). Пьер Ферма (1601—1665) дает методу более строгую<br />
математическую формулировку. Опираясь на насле-<br />
Исаак Ньютон 257<br />
дие предшественников, Ньютон с самого начала ссылается на данные акустики и оптики, т. е. на те<br />
отрасли физики, которые он в то время изучал. И очень скоро в его математических трудах четко<br />
проявится физическая основа.<br />
Первый итог исчислений бесконечно малых величин Ньютон опубликует позже, в 1687 г., в начале<br />
своего главного сочинения «Математические начала натуральной философии».<br />
В 1711 г. выйдет сочинение, написанное в 1669 г., «Анализ с помощью уравнений с бесконечным<br />
числом членов»; в 1704 г., в качестве приложения к трактату «Оптика», увидит свет «Трактат о<br />
квадратуре кривых» — труд 1676 г.; вышеупомянутый «Метод флюксий и бесконечных рядов»,<br />
написанный в 1673 г. на латинском языке, выйдет в английском варианте только в 1736 г., т. е. уже после<br />
смерти автора.<br />
Но обратимся к теории, названной самим Ньютоном теорией переменных. Если в первых трудах он<br />
развивает «алгебраическое» изучение проблемы, особенно на базе трудов Ферма и Уоллиса, то вскоре<br />
основанная на знании физики, а точнее, механики интуиция укажет ему верное направление для<br />
разрешения проблемы. Благодаря этой концептуальной основе Ньютону удалось выйти за рамки<br />
определения линий только как совокупности точек: теперь он рассматривает их как траектории движения<br />
точки; в результате плоскости воспринимаются как движение линий, а объемные тела — как движение<br />
плоскостей, описанные через изменение ординаты, в то время как абсцисса растет с течением времени.<br />
Для этого он вводит х', у', z', чтобы обозначить скорость точки в трех координатах-направлениях.<br />
Отсюда берут начало различные проблемы, и особенно две: как рассчитать отношения переменных при<br />
известных параметрах, и наоборот.<br />
В частном случае механики: известно расстояние в функции времени, как вычислить скорость, и<br />
наоборот: при известных скорости и времени как вычислить пройденный путь? В современных<br />
терминах: вывести пространство из временных отношений и интегрировать в скорости. Не вдаваясь<br />
слишком в технические детали, необходимо тем не менее сказать, что Ньютону удалось доказать многие<br />
важные правила дифференциального и интегрального исчисления; кроме того, он ввел понятие второй<br />
производной (производной производной; в случае механики: ускорение) и производной любого порядка;<br />
он строго теоретически обосновал связь между про-<br />
258 Научная революция<br />
изводной и интегралом и решил первые дифференциальные уравнения (с одной неизвестной<br />
функцией). Из вышеперечисленного явствует, что механика внесла ощутимый концептуальный вклад в<br />
выработку новой математической теории. Ньютон рассматривал математику с точки зрения<br />
инструментальной концепции: математика для него служила языком описания природных явлений. В<br />
этом его позиция совпадала с позицией Гоббса.<br />
Д. Антисери и Дж. Реале. Западная философия от истоков до наших дней. От Возрождения до Канта - С-<br />
Петербург, «Пневма», <strong>2002</strong>, 880 с, с ил.