Mis on aeg? 3

= , kus = .
Vektorid piirduvad ainult kolmemõõtmelisusega, kuid enamamõõtmelisi „objekte“ ( nagu näiteks
neljamõõtmelist aegruumi ) kirjeldavad juba tensorid. Seetõttu on tensormatemaatika samuti
kõverate aegruumide üheks peamiseks matemaatiliseks kirjeldusviisiks.
Üldrelatiivsusteoorias esineb peamiselt kahte liiki võrrandeid. Ühed on need, mis kirjeldavad
kahe punkti vahelise kauguse muutumist kõveras aegruumis ( võrreldes tasase aegruumiga ). Need
meetrilised võrrandid kirjeldavad ka seda, et kuidas muutuvad aeg ja ruum taevakeha tsentrile
lähenemisel. Teised on aga need, mis kirjeldavad mateeria mõju aegruumile. Need tensorvõrrandid
kirjeldavad seda, et keha mass kõverdab ümbritsevat aegruumi ja aegruumi kõverdus omakorda
mõjutab kehade liikumisi selles. Just aine ja energia eksisteerimine mõjutavad aegruumi
geomeetriat ehk meetrikat. Samuti ka selle aine või energia liikumine aegruumis. Seda kirjeldab
matemaatiliselt näiteks A. Einsteini võrrand:
( =
Riemanni geomeetria tensorid kirjeldavad Riemanni mitteeukleidilist ehk kõverdunud ruumi.
Meetriline tensor on vektorist palju üldisem ja keerulisem. Vektor näitab ainult suunda ja pikkust.
Meetriline tensor näitab punktide omavahelisi kaugusi kõverdunud ruumides. Kahemõõtmelise,
kolmemõõtmelise ja neljamõõtmelise ruumi meetrilisel tensoril on vastavalt kolm, kuus ja kümme
sõltumatut komponenti. Riemanni tensorid ja Einsteini ning Grossmanni poolt kohandatud, Itaalia
matemaatikute Gregorio Ricci-Carbasto ja Teulli Levi-Civita tensorid on kovariantsed. Ruumi ja aja
koordinaatsüsteemide suvaliste muutuste või pöörete korral jäävad nende tensorite komponentide
omavahelised suhted samasugusteks. Füüsikaliselt väljendub see selles, et kuna Universum on
kõikjal üks ja sama, siis seega peavad loodusseadused olema samasugused ka erinevates ehk
kõikides koordinaatsüsteemides. Einsteini gravitatsiooni väljavõrrandid on:
= = .
Tensor G on Einsteini tensor, mis koosneb Ricci tensori R ja meetrilise tensori g kombinatsioonist.
Mateeria liikumist gravitatsiooniväljas kirjeldab tensor T. Indeksid μ ja ν on tensorite erinevad
komponendid. Einsteini tensor G näitab seda, et kuidas füüsikalised kehad kõverdavad ümbritsevat
aegruumi geomeetriat. Einsteini võrrand näitab seda, et kuidas kehad kõverdavad aegruumi ja
kuidas sama aegruumi kõverus paneb kehad liikuma.
„Meetrilise formalismi esitusviis on üldrelatiivsusteooria „klassikaline“ esitus. Kuid seda
klassikalist formalismi on täiustatud. On välja arendatud üldrelatiivsusteooria matemaatiliste aluste
üldiselt komplitseeritumad käsitlused. Need aga lähtuvad üldisematest matemaatilistest
kontseptsioonidest, mõistetest. Sellisel juhul alustatakse tavaliselt aegruumi kui diferentseeruva
muutkonna lokaalsete pseudoeukleidiliste puuteruumide, nendest moodustatud puutujavektorkonna,
puuteruumis Lorentzi rühma taandamatute esitustega defineeritavate matemaatiliste suuruste (
spiinorite, tensorite ) vaatlemisest. Pärast seda arvestatakse ka kogu tänapäeva
diferentsiaalgeomeetriat. Kasutatakse topoloogilisi meetodeid, mitmeid eripäraseid ja efektiivseid
arvutusmeetodeid. Näiteks Cartani välisdiferentsiaalvormide arvutust. Seejärel see kõik
rakendatakse aegruumi ( kui kõvera Riemanni ruumi ) omaduste detailse uurimise teenistusse.
Näiteks nn. spiinorformalism on tensorformalismist fundamentaalsem käsitlusviis. See formuleerib
üldrelatiivsusteooriat spiinorite keeles. Kuid spiinorformalismilt on võimalik üle minna
tensorformalismile. Seda on võimalik arendada kasutades globaalseid koordinaate, mis annabki
249