Mis on aeg? 3

= + +
Lainefunktsiooni kuju on üldjuhul määratud siiski potentsiaalse energiaga U – osakesele
mõjuvatele jõudude iseloomuga. U on koordinaatide ja aja funktsioon.
Schrödingeri võrrandit on võimalik esitada ka operaatorkujul:
ja niisamuti ka impulssi:
=
= .
Energia operaatori ( mis on põhimõtteliselt lainefunktsiooni ajaline käitumine ) saame järgmiselt:
= = .
Schrödingeri võrrandit ei ole tegelikult võimalik tuletada. Kõik eelnev diferentsiaalmatemaatiline
„tuletus“ oli lihtsalt elav näide sellest, kuidas sellise osakese kui lainet kirjeldava diferentsiaalvõrrandini
jõuda. Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika teoreetiliseks aluseks. See on
diferentsiaalvõrrand, mille kaudu on võimalik välja arvutada osakese tõenäosuslaine sõltuvuse
koordinaatidest ja ajast, kui on teada osakese mass ja talle mõjuvad jõud. Kuid Schrödingeri
võrrandil kui diferentsiaalvõrrandil ei ole üheseid, lõplikke ja pidevaid lahendeid parameetri E (
koguenergia ) meelevaldsete väärtuste juures. Lahendeid saadakse ainult mõningatel kindlatel
väärtustel. Neid kindlaid väärtusi nimetatakse parameetri omaväärtusteks ja neile vastavaid võrrandi
lahendeid ülesande omafunktsioonideks.
Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika põhivõrrand. See võrrand seob omavahel üldist
lainevõrrandit ( mis kirjeldab igasuguseid laineid ) ja de Broglie´ lainevõrrandit:
=
Tulemuseks on diferentsiaalvõrrand, mis sisaldab endas tuletisi. Sellise diferentsiaalvõrrandi
lahendid on funktsioonid ehk osakese leiulainet esitavad lainefunktsioonid. Algebralisel võrrandil
on lahenditeks aga arvud.
Kvantsüsteemi energiat kirjeldab hamiltoniaan H. Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika
põhivõrrand. Selle järgi kirjeldab hamiltoniaan kvantsüsteemi ajalist arengut. Schrödingeri esituses
antud olekufunktsioonide korral kirjeldab lainefunktsiooni Schrödingeri võrrand. Kuid Heisenbergi
esituses on olekufunktsioonid ajas muutumatud, kuid ajalist arengut kirjeldavad operaatorid. See on
tegelikult sisuliselt sama mis Schrödingeri esitus. Kvantväljateoorias aga kasutatakse interaktsiooniesitust,
mille korral sõltub olekufunktsiooni ajaline areng ainult interaktsioonihamiltoniaanist, mitte
vabade väljade hamiltoniaanist. Hamiltoniaan ise koosneb vabade väljade hamiltoniaanist ja
interaktsioonihamiltoniaanist. Väljavektor sisaldab elektron-positron- ja elektromagnetvälja.
Väljavektori muutust kirjeldatakse mingisuguse operaatoriga S, mida kujutatakse ka
maatriksvõrrandina. Seda nimetatakse hajumise maatriksiks ehk S-maatriksiks. Erinevaid
kvantolekuid erinevates ajahetkedes seob S-maatriksi mingi element. Vastava kvantoleku ülemineku
tõenäosust saab välja arvutada siis, kui on teada vastava maatrikselemendi väärtust.
Järgnevalt esitame näitena matemaatilise analüüsi Schrödingeri võrrandi ja lainefunktsiooni
lahendamisest ehk kvantmehaanika üldisest arvutamisest. Näiteks leiame vabaosakese
statsionaarsed olekud, mil energia ei muutu ajas ja kui osake liigub ühemõõtmelises piirkonnas ( 0 ≤
290