Mis on aeg? 3

Universumis ( näiteks lineaarmõõtmetega ca 10 8 valgusaastat ), siis on sfääri sees oleva mateeria
gravitatsiooniväli mõõdukas.
Vaatleme sfääri raadiusega R, milles on galaktikad ja seega sfääris asuva kosmilise aine mass on
M. Olgu meil sfääri pinnal galaktika A, millele mõjub gravitatsioonijõud F. Vastavalt
kosmoloogilisele printsiibile on gravitatsioonijõud nii suur nagu asuks kogu mass M sfääri tsentris.
Hubble´i seaduse järgi muutub ajas sfääri sees ja selle pinnal oleva massi tihedus, kuid mass ise ajas
ei muutu. Galaktika A liikumist ei mõjuta massid, mis jäävad väljapoole sfääri. Kogu edasine
analüüs eeldab, et kehtib kosmoloogiline printsiip, Hubble´i seadus ehk Universumi paisumine,
Newtoni II seadus ehk klassikaline mehaanika ja Newtoni gravitatsiooniseadus.
Eespool olevast gravitatsioonilisest aja dilatatsiooni võrrandist tuletatud energia jäävuse
seadusest
on võimalik matemaatiliselt tuletada Newtoni II seadus gravitatsioonijõu korral:
=
= =
Esiteks gravitatsioonipotentsiaal φ on tegelikult tuletatav Newtoni gravitatsioonijõust F, kui me
Newtoni gravitatsiooniseadust integreerime raadiuse r-i järgi järgmiselt:
= =
milles F ongi Newtoni ülemaailmne gravitatsiooniseadus:
Teiseks on kineetiline energia E võrdeline tehtud tööga:
=
ehk
= = = =
=
Viimasest seosest ongi näha seda, et töö A avaldise diferentseerimisel saame kineetilise energia
valemi järgmiselt:
Integreerides viimast avaldist:
= = =
=
saamegi kineetilise energia matemaatilise avaldise:
= = = =
84