Mis on aeg? 3

Lainefunktsiooni reaalseks näiteks vaatleme järgnevalt mingi suvaliselt valitud pinna valgustatust.
Valguslaine elektrivektori ruudu keskväärtus mõõdab valguse intensiivsust. Valgualaine
amplituudi ruut on laineteooria järgi võrdeline valgustatusega pinna mingisuguses punktis, kuid
kvantteooria järgi on valgustatus ( ja seega valguslaine amplituudi ruut ) võrdeline hoopis valguse
osakeste voo tihedusega. Valgusosake ehk footon kannab endas energiat ja impulsi. Footoni
langemisel mingis pinna punktis vabaneb seal energia. Footoni langemist pinna mingisugusesse
punkti määrab ära tõenäosus, mis sõltub valguslaine amplituudi ruudu väärtusest. Footoni leidmise
tõenäosust ruumalas dV kirjeldab diferentsiaalvõrrand: dW = χA 2 dV, kus χ on võrdetegur ja A on
valguslaine amplituud. Tõenäosustihedus avaldub nõnda:
=
Oletame, et meil on selline lainefunktsioon, mis on normeeritud ühele ehk ψ´(r,t)=Nψ(r,t), kus N
on mingi konstant. Mõlemad lainefunktsioonid ehk ψ´(r,t) ja Nψ(r,t) kirjeldavad füüsikalist olekut,
mis on tegelikult üks ja sama. Teades seda, et |ψ´| 2 =|ψ| 2 ja
( =
kus arv A on lihtsalt selle integraali väärtus, saame leida normeerimisteguri N järgmiselt:
( = = ( =
ehk |N| 2 A=1. Kuid N võib olla reaalarvuline ja seega saame:
=
See näitab seda, et näiteks Schrödingeri võrrandi lahend ( mida me hiljem vaatame palju täpsemalt )
- lainefunktsioon üldse - on tegelikult määratud konstantse faasiteisenduste täpsuseni ehk mitte
üheselt, sest kehtib järgmine faasiteisendus:
|ψ´| 2 =(ψ´)*ψ´=e -iα ψ*e iα ψ=ψ*ψ=|ψ| 2 ,
kus α on suvaline reaalarv. Summaarne tõenäosus on alati võrdne ühega. Alguses leitakse võrrandi
mingi üldine lahend ja siis seda kasutades sobiv normeerimistegur.
Kui aga lainefunktsiooni integraal
pole lõplik ehk
(
(
siis lainefunktsioon ei ole normeeritav, ehkki võib olla pidev ja lõplik. Vaatame näiteks ühte kindla
energia ja impulsiga osakest, mis „liigub“ x-telje sihis, mida kirjeldab võrrand φ 1 (x)=Ae ikx . Selle (
lainefunktsiooni ) mooduli ruut ( mis on seotud osakese leidmise tõenäosusega ) tuleb:
|φ 1 (x)| 2 =A*e -ikx Ae ikx =|A| 2 .
Kuna osakesel on kindel impulss, siis tema impulsi määramatus on △p=0 ja seetõttu on ka osakese
asukoht x-teljel määramata ehk △x=∞. See tähendab seda, et osakese leidmise tõenäosus on kõikjal
ühesugune ehk osakest on võimalik leida võrdse tõenäosusega mistahes x-telje punktist. Sellest
tulenevalt ei saa |φ 1 | 2 normeerida üheks. Näiteks
= =
286