Mis on aeg? 3

Operaatorid kvantmehaanikas
Osakese olekut kirjeldab kvantmehaanikas lainefunktsioon Ψ. Sellest lainefunktsioonist peab
kätte saama kogu informatsiooni mingite matemaatiliste operatsioonidega. Nende matemaatiliste
operatsioonide aluseks ongi operaatorid, mis teisendavad ühtesid funktsioone teisteks. Operaatorid
kuuluvad kvantmehaanika põhimõistete hulka ja seetõttu ei saa ilma nendeta mõista
kvantmehaanika formalismist ega ka füüsikalisest sisust. Operaator on matemaatikas eeskiri, mille
abil on võimalik saada mingist funktsioonist teise funktsiooni. Kvantmehaanikas on vaja ainult
arvuga korrutamise operaatoreid ja diferentseerimisoperaatoreid. Operaatorid, mida kasutatakse
kvantmehaanikas, on enamasti lineaarsed. Operaatorite korrutamine tähendab nende järjestikust
rakendamist ja seetõttu on korrutises operaatorite järjekord üldiselt oluline. Tulemus ei sõltu
operaatorite rakendamise järjekorrast siis, kui operaatorid omavahel kommuteeruvad. Operaatorite
rakendamise järjekord on oluline omavahel mittekommuteeruvate operaatorite korral. Tuleb
kindlasti märkida ka seda, et operaatorid mõjuvad alati funktsioonidele.
Kvantmehaanikas vastab igale füüsikalisele suurusele ( energia, impulss vms ) mingi kindel
operaator. Füüsikaliste suuruste operaatorite saamiseks on enamasti vaja teada ainult koordinaadi ja
impulsi operaatoreid. Koordinaadi operaatorid ( ristkoordinaatides ) on vastavad koordinaadid ise.
Need on arvuga korrutamise operaatorid. Kuid impulssi operaatori korral on tegemist juba arvuga
korrutamise operaatori ja diferentseerimisoperaatori korrutisega. Igale füüsikalisele suurusele
vastab mingi kindel operaator ja operaatori omaväärtused annavad selle füüsikalise suuruse
mõõdetavad väärtused. Füüsikaliste operaatorite omaväärtused peavad olema reaalarvulised, mitte
imaginaarsed, sest kõik füüsikaliselt mõõdetavad suurused on reaalarvulised. Kuid
kvantmehaanikas leiduvad ka selliseid lineaarse operaatori omaväärtused, mis ei ole reaalsed.
Hermiitilise operaatori korral on kaasoperaator võrdne selle operaatori endaga. Füüsikaliste
suuruste operaatorid peavad kvantmehaanikas olema hermiitilised, mille korral on selle
omaväätused reaalsed.
Energiakvandi määramatuse seosed tulenevad tema lainelistest omadustest, mitte aga lihtsalt
suvaliselt matemaatilistest võrranditest. Matemaatilise lähenemise korral lahendatakse kvantmehaanikas
operaatori omaväärtusülesanne, mille korral tuleb leida omaväärtused ja seega
omaolekud ( diskreetsel juhul ):
= ,
kus on operaator ( operaator on alati katusega ) ehk füüsikaline suurus, f on omaolek ehk
omafunktsioon ja tundmatu a on omaväärtus ehk füüsikalisele suurusele vastav kindel arvuline
väärtus. Füüsikaliste suuruste arvud peavad olema reaalarvud. Omaväärtusülesanne ei anna meile
normeeritud kuju. Operaator on arvude üldistus. Igale füüsikalisele suurusele vastab operaator, mis
toimib olekufunktsioonina. Operaator on teisenemise eeskiri, mille järgi saame ühest funktsioonist
teise funktsiooni. Funktsioon = = on lõpmata mõõtmeline vektor ehk lõpmata komponendine
vektor, milles on olemas funktsioonid φ n ( kus n = 1, 2, 3, ... ). Operaatori omaväärtusülesanne
on pidevuse kujul esitatav aga järgmiselt:
( = ( ,
353