Mis on aeg? 3

ja seega saame impulsi omaväärtusülesande järgmise kuju
Tehes ära viimases võrrandis mõned lihtsad matemaatilised teisendused, saame järgmise avaldise
=
Viime i ja h jagatise teisele poole
ning lõpuks saamegi impulsi operaatori
Koordinaadi operaator võrdub alati iseendaga:
=
=
=
=
Osakese olekut kirjeldab kvantmehaanikas lainefunktsioon Ψ. Sellest lainefunktsioonist peab
kätte saama kogu informatsiooni mingite matemaatiliste operatsioonidega. Nende matemaatiliste
operatsioonide aluseks ongi operaatorid, mis teisendavad ühtesid funktsioone teisteks. Operaatorid
kuuluvad kvantmehaanika põhimõistete hulka ja seetõttu ei saa ilma nendeta mõista
kvantmehaanika formalismist ega ka füüsikalisest sisust. Operaator on matemaatikas eeskiri, mille
abil on võimalik saada mingist funktsioonist teise funktsiooni. Kvantmehaanikas on vaja ainult
arvuga korrutamise operaatoreid ja diferentseerimisoperaatoreid. Operaatorid, mida kasutatakse
kvantmehaanikas, on enamasti lineaarsed. Operaatorite korrutamine tähendab nende järjestikust
rakendamist ja seetõttu on korrutises operaatorite järjekord üldiselt oluline. Tulemus ei sõltu
operaatorite rakendamise järjekorrast siis, kui operaatorid omavahel kommuteeruvad. Operaatorite
rakendamise järjekord on oluline omavahel mittekommuteeruvate operaatorite korral. Tuleb
kindlasti märkida ka seda, et operaatorid mõjuvad alati funktsioonidele.
Kvantmehaanikas vastab igale füüsikalisele suurusele ( energia, impulss vms ) mingi kindel
operaator. Füüsikaliste suuruste operaatorite saamiseks on enamasti vaja teada ainult koordinaadi ja
impulsi operaatoreid. Koordinaadi operaatorid ( ristkoordinaatides ) on vastavad koordinaadid ise.
Need on arvuga korrutamise operaatorid. Kuid impulssi operaatori korral on tegemist juba arvuga
korrutamise operaatori ja diferentseerimisoperaatori korrutisega. Igale füüsikalisele suurusele
vastab mingi kindel operaator ja operaatori omaväärtused annavad selle füüsikalise suuruse
mõõdetavad väärtused. Füüsikaliste operaatorite omaväärtused peavad olema reaalarvulised, mitte
imaginaarsed, sest kõik füüsikaliselt mõõdetavad suurused on reaalarvulised. Kuid
kvantmehaanikas leiduvad ka selliseid lineaarse operaatori omaväärtused, mis ei ole reaalsed.
Hermiitilise operaatori korral on kaasoperaator võrdne selle operaatori endaga. Füüsikaliste
suuruste operaatorid peavad kvantmehaanikas olema hermiitilised, mille korral on selle
omaväätused reaalsed.
Määramatuse seos osakese koordinaadi ja impulsi vahel △x△p=h on seotud määramatuse
seosega osakese energia ja aja vahel järgmiselt. Osakese määramatuse seos koordinaadi ja impulsi
vahel on △x△p=h. Näiteks footon liigub vaakumis kiirusega c ja seega võib viimases seoses △x
avalduda nii: △x=c△t. Määramatuse seos avaldub nüüd niimoodi: c△t△p=h. Kuna osakese
energia avaldub valemiga E=mc 2 ( E=mc 2 =hf ) ja impulss p=mc ( kuna siin v=c ), siis saamegi
osakese määramatuse seose energia ja aja vahel: c△t△(mc)=h, seega △E△t=h. Viimane seos
näitab seda, et osakese energia täpseks mõõtmiseks kestab mõõtmisprotsess lõpmata kaua. See
tähendab sisuliselt seda, et osakese energiat E ( kui osakese energiatase eksisteerib mingi Δt jooksul
) ei ole võimalik määrata täpsemalt kui ΔE = h / Δt. Energia ja aja määramatuse seosest on võimalik
määrata kiirgussiirde kestvust Δt. See on umbkaudu sellises suurusjärgus, mis jääb 10 -9 – 10 -8
304