Die Methode der Kritischen Diskurs - hug-web.at

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Hermann Denz & Horst O. Mayer
Messungen zu einem unsinnigen Ergebnis führen. Für die Berechnung des Medians
wird gelegentlich auch eine Formel für den Fall von gruppierten Daten (Klassen) angegeben
(z.B. Clauß/Ebner 1982, 78). Dafür müssen jedoch zwei zusätzliche Annahmen
getroffen werden: Die Variable ist in Wirklichkeit quantitativ und die Werte sind
innerhalb einer Klasse gleich verteilt.
Ist die Messung quantitativ, kann nicht nur die Ordnung der Messwerte, sondern es
können auch die Distanzen voneinander mit einbezogen werden. Es wird nun ein
Wert gesucht, der folgende Eigenschaften hat: Die Summe der Abstände von diesem
Wert soll Null sein und die Summe der quadrierten Abstände soll ein Minimum sein.
Das ist die auf C. F. Gauß (1777-1855) zurückgehende „Methode der kleinsten Quadrate”,
die natürlich kein Naturgesetz ist, aber eine Konvention, die sich bewährt hat.
Man könnte auch hoch drei oder hoch vier verwenden. Die Auswirkung wäre, dass
größere Abweichungen noch größer werden und damit den gesuchten Wert stärker bestimmen.
Löst man dies auf, findet man die bekannte Formel für den Mittelwert
(arithmetisches Mittel als Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der Werte):
x
1
= xi
(2) ∑ n
Ein Streuungsmaß soll eine Zahl sein, die möglichst genaue Auskunft über die Form
der Verteilung entlang der Messachse gibt: ob alle Werte sehr eng beieinander liegen
oder ob sie gleichmäßig verteilt einen breiten Ausschnitt abdecken. Wiederum hängt
die Wahl einer solchen Maßzahl von der in den Daten enthaltenen Information ab (=
Messniveau).
Bei nominalen Daten kann also nicht die Anordnung verwendet werden. Die größte
Streuung ist aber, wenn alle Kategorien gleich stark besetzt sind (Gleichverteilung),
die geringste, wenn alle Werte in einer Kategorie sind. Um dies in einer Zahl auszudrücken,
wird gelegentlich die Entropie als Maßzahl vorgeschlagen; dies hat sich aber
(leider) nicht durchgesetzt.
Ordinale Daten können wieder in eine Ordnung gebracht werden. Genauso wie für
den Median der mittlere Wert gesucht wurde, kann auch jeder andere gesucht werden.
Einen besonderen Namen haben noch die Dezile (z.B. das 1. Dezil ist jener Wert, der
größer als 10% der Werte ist, aber kleiner als 90% usw.) und die Quartile (das 1.
Quartil teilt die Verteilung im Verhältnis 25:75, das 3. Quartil im Verhältnis 75:25,
das 2. Quartil = Median). Als ordinales Streuungsmaß wird nun der Quartil-abstand
(QA), das ist die Differenz zwischen dem 3. und dem 1. Quartil, verwendet.
Ist die Variable quantitativ, soll wieder auf die Überlegungen zurückgegriffen werden,
die zur Definition des Mittelwertes geführt haben. Die Varianz als quantitatives
Streuungsmaß ist definiert als die durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Mittelwert.
Bei Stichproben wird eine Korrektur vorgenommen: Man dividiert durch (n-
1) statt durch n. Dadurch wird bei kleinen Stichproben die Varianz etwas größer. Je